Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9280 / 25536
↖ ↑ ↗
← S 70.377854°
W 78.046875°		 ← 410.25 m → S 70.377854°
W 78.035889°		 →
↑
410.23 m
↓
↑
410.23 m
↓
S 70.381543°
W 78.046875°		 ← 410.17 m →
168 279 m²		 S 70.381543°
W 78.035889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283218383789062 y=0.779312133789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283218383789062 × 215)
    floor (0.283218383789062 × 32768)
    floor (9280.5)     		tx = 9280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779312133789062 × 215)
    floor (0.779312133789062 × 32768)
    floor (25536.5)     		ty = 25536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9280 / 25536 ti = "15/9280/25536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9280/25536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9280 ÷ 215
    9280 ÷ 32768     		x = 0.283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25536 ÷ 215
    25536 ÷ 32768     		y = 0.779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283203125 × 2 - 1) × π
    -0.43359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.36217494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779296875 × 2 - 1) × π
    -0.55859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75487402129102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36217494} λ = -1.36217494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75487402129102))-π/2
    2×atan(0.172929026295006)-π/2
    2×0.171235527526007-π/2
    0.342471055052013-1.57079632675     		φ = -1.22832527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36217494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.046875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22832527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.377854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9280 KachelY 25536 -1.36217494 -1.22832527 -78.046875 -70.377854
    Oben rechts KachelX + 1 9281 KachelY 25536 -1.36198319 -1.22832527 -78.035889 -70.377854
    Unten links KachelX 9280 KachelY + 1 25537 -1.36217494 -1.22838966 -78.046875 -70.381543
    Unten rechts KachelX + 1 9281 KachelY + 1 25537 -1.36198319 -1.22838966 -78.035889 -70.381543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22832527--1.22838966) × R
    6.43899999999142e-05 × 6371000     		dl = 410.228689999454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22832527--1.22838966) × R
    6.43899999999142e-05 × 6371000     		dr = 410.228689999454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36217494--1.36198319) × cos(-1.22832527) × R
    0.000191750000000157 × 0.335815671936321 × 6371000     		do = 410.24560560287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36217494--1.36198319) × cos(-1.22838966) × R
    0.000191750000000157 × 0.335755020514151 × 6371000     		du = 410.171511444978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22832527)-sin(-1.22838966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335815671936321-0.335755020514151)×R²
    abs(-1.36198319--1.36217494)×6.06514221700993e-05×R²
    0.000191750000000157×6.06514221700993e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.06514221700993e-05×40589641000000     		ar = 168279.319647631m²