Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 928 / 988
↖ ↑ ↗
← N 79.464560°
W139.218750°		 ← 893.46 m → N 79.464560°
W139.174805°		 →
↑
893.85 m
↓
↑
893.85 m
↓
N 79.456521°
W139.218750°		 ← 894.14 m →
798 926 m²		 N 79.456521°
W139.174805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.11334228515625 y=0.12066650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.11334228515625 × 213)
    floor (0.11334228515625 × 8192)
    floor (928.5)     		tx = 928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12066650390625 × 213)
    floor (0.12066650390625 × 8192)
    floor (988.5)     		ty = 988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 928 / 988 ti = "13/928/988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/928/988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 928 ÷ 213
    928 ÷ 8192     		x = 0.11328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 988 ÷ 213
    988 ÷ 8192     		y = 0.12060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11328125 × 2 - 1) × π
    -0.7734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.42982557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12060546875 × 2 - 1) × π
    0.7587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38380614430615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42982557} λ = -2.42982557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38380614430615))-π/2
    2×atan(10.8461062467139)-π/2
    2×1.47885726669869-π/2
    2.95771453339738-1.57079632675     		φ = 1.38691821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42982557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38691821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.464560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 928 KachelY 988 -2.42982557 1.38691821 -139.218750 79.464560
    Oben rechts KachelX + 1 929 KachelY 988 -2.42905858 1.38691821 -139.174805 79.464560
    Unten links KachelX 928 KachelY + 1 989 -2.42982557 1.38677791 -139.218750 79.456521
    Unten rechts KachelX + 1 929 KachelY + 1 989 -2.42905858 1.38677791 -139.174805 79.456521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38691821-1.38677791) × R
    0.000140299999999982 × 6371000     		dl = 893.851299999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38691821-1.38677791) × R
    0.000140299999999982 × 6371000     		dr = 893.851299999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42982557--2.42905858) × cos(1.38691821) × R
    0.000766990000000245 × 0.182843678328536 × 6371000     		do = 893.464407271595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42982557--2.42905858) × cos(1.38677791) × R
    0.000766990000000245 × 0.182981611350923 × 6371000     		du = 894.138416059959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38691821)-sin(1.38677791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182843678328536-0.182981611350923)×R²
    abs(-2.42905858--2.42982557)×0.000137933022387071×R²
    0.000766990000000245×0.000137933022387071×6371000²
    0.000766990000000245×0.000137933022387071×40589641000000     		ar = 798925.55506882m²