Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 928 / 913
↖ ↑ ↗
← S 80.238500°
E146.250000°		 ← 6 627.93 m → S 80.238500°
E146.601562°		 →
↑
6 607.94 m
↓
↑
6 607.94 m
↓
S 80.297927°
E146.250000°		 ← 6 587.97 m →
43 664 945 m²		 S 80.297927°
E146.601562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90673828125 y=0.89208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90673828125 × 210)
    floor (0.90673828125 × 1024)
    floor (928.5)     		tx = 928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89208984375 × 210)
    floor (0.89208984375 × 1024)
    floor (913.5)     		ty = 913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 928 / 913 ti = "10/928/913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/928/913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 928 ÷ 210
    928 ÷ 1024     		x = 0.90625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 913 ÷ 210
    913 ÷ 1024     		y = 0.8916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90625 × 2 - 1) × π
    0.8125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55254403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8916015625 × 2 - 1) × π
    -0.783203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.46050518369824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55254403} λ = 2.55254403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46050518369824))-π/2
    2×atan(0.085391801522948)-π/2
    2×0.0851851527048376-π/2
    0.170370305409675-1.57079632675     		φ = -1.40042602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55254403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40042602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.238500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 928 KachelY 913 2.55254403 -1.40042602 146.250000 -80.238500
    Oben rechts KachelX + 1 929 KachelY 913 2.55867995 -1.40042602 146.601562 -80.238500
    Unten links KachelX 928 KachelY + 1 914 2.55254403 -1.40146321 146.250000 -80.297927
    Unten rechts KachelX + 1 929 KachelY + 1 914 2.55867995 -1.40146321 146.601562 -80.297927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40042602--1.40146321) × R
    0.00103718999999991 × 6371000     		dl = 6607.93748999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40042602--1.40146321) × R
    0.00103718999999991 × 6371000     		dr = 6607.93748999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55254403-2.55867995) × cos(-1.40042602) × R
    0.00613592000000018 × 0.169547306195044 × 6371000     		do = 6627.93419247745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55254403-2.55867995) × cos(-1.40146321) × R
    0.00613592000000018 × 0.168525041566953 × 6371000     		du = 6587.97187851131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40042602)-sin(-1.40146321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169547306195044-0.168525041566953)×R²
    abs(2.55867995-2.55254403)×0.00102226462809027×R²
    0.00613592000000018×0.00102226462809027×6371000²
    0.00613592000000018×0.00102226462809027×40589641000000     		ar = 43664944.5098181m²