Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 928 / 605
↖ ↑ ↗
← N 59.085739°
W 16.875000°		 ← 10.042 km → N 59.085739°
W 16.699219°		 →
↑
10.055 km
↓
↑
10.055 km
↓
N 58.995311°
W 16.875000°		 ← 10.068 km →
101.105 km²		 N 58.995311°
W 16.699219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453369140625 y=0.295654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453369140625 × 211)
    floor (0.453369140625 × 2048)
    floor (928.5)     		tx = 928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295654296875 × 211)
    floor (0.295654296875 × 2048)
    floor (605.5)     		ty = 605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 928 / 605 ti = "11/928/605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/928/605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 928 ÷ 211
    928 ÷ 2048     		x = 0.453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 605 ÷ 211
    605 ÷ 2048     		y = 0.29541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453125 × 2 - 1) × π
    -0.09375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29541015625 × 2 - 1) × π
    0.4091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.28547590021143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29452431} λ = -0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28547590021143))-π/2
    2×atan(3.61638858785429)-π/2
    2×1.30101850289599-π/2
    2.60203700579198-1.57079632675     		φ = 1.03124068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03124068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.085739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 928 KachelY 605 -0.29452431 1.03124068 -16.875000 59.085739
    Oben rechts KachelX + 1 929 KachelY 605 -0.29145635 1.03124068 -16.699219 59.085739
    Unten links KachelX 928 KachelY + 1 606 -0.29452431 1.02966242 -16.875000 58.995311
    Unten rechts KachelX + 1 929 KachelY + 1 606 -0.29145635 1.02966242 -16.699219 58.995311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03124068-1.02966242) × R
    0.00157826000000005 × 6371000     		dl = 10055.0944600003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03124068-1.02966242) × R
    0.00157826000000005 × 6371000     		dr = 10055.0944600003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29452431--0.29145635) × cos(1.03124068) × R
    0.00306796000000004 × 0.51375481530603 × 6371000     		do = 10041.8378307925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29452431--0.29145635) × cos(1.02966242) × R
    0.00306796000000004 × 0.515108222622785 × 6371000     		du = 10068.2914938804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03124068)-sin(1.02966242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51375481530603-0.515108222622785)×R²
    abs(-0.29145635--0.29452431)×0.00135340731675515×R²
    0.00306796000000004×0.00135340731675515×6371000²
    0.00306796000000004×0.00135340731675515×40589641000000     		ar = 101104645.968037m²