Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9279 / 9667
↖ ↑ ↗
← S 30.807911°
E 23.884277°		 ← 2 098.45 m → S 30.807911°
E 23.906250°		 →
↑
2 098.23 m
↓
↑
2 098.23 m
↓
S 30.826781°
E 23.884277°		 ← 2 098.04 m →
4 402 590 m²		 S 30.826781°
E 23.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566375732421875 y=0.590057373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566375732421875 × 214)
    floor (0.566375732421875 × 16384)
    floor (9279.5)     		tx = 9279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590057373046875 × 214)
    floor (0.590057373046875 × 16384)
    floor (9667.5)     		ty = 9667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9279 / 9667 ti = "14/9279/9667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9279/9667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9279 ÷ 214
    9279 ÷ 16384     		x = 0.56634521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9667 ÷ 214
    9667 ÷ 16384     		y = 0.59002685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56634521484375 × 2 - 1) × π
    0.1326904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41685928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59002685546875 × 2 - 1) × π
    -0.1800537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.565655415516663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41685928} λ = 0.41685928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.565655415516663))-π/2
    2×atan(0.567987756746729)-π/2
    2×0.516548424879304-π/2
    1.03309684975861-1.57079632675     		φ = -0.53769948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41685928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.884277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53769948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.807911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9279 KachelY 9667 0.41685928 -0.53769948 23.884277 -30.807911
    Oben rechts KachelX + 1 9280 KachelY 9667 0.41724277 -0.53769948 23.906250 -30.807911
    Unten links KachelX 9279 KachelY + 1 9668 0.41685928 -0.53802882 23.884277 -30.826781
    Unten rechts KachelX + 1 9280 KachelY + 1 9668 0.41724277 -0.53802882 23.906250 -30.826781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53769948--0.53802882) × R
    0.000329339999999956 × 6371000     		dl = 2098.22513999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53769948--0.53802882) × R
    0.000329339999999956 × 6371000     		dr = 2098.22513999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41685928-0.41724277) × cos(-0.53769948) × R
    0.000383489999999986 × 0.858889190787656 × 6371000     		do = 2098.45077390346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41685928-0.41724277) × cos(-0.53802882) × R
    0.000383489999999986 × 0.858720468956848 × 6371000     		du = 2098.03855023103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53769948)-sin(-0.53802882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858889190787656-0.858720468956848)×R²
    abs(0.41724277-0.41685928)×0.000168721830807739×R²
    0.000383489999999986×0.000168721830807739×6371000²
    0.000383489999999986×0.000168721830807739×40589641000000     		ar = 4402589.73961385m²