Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9278 / 25794
↖ ↑ ↗
← S 71.307836°
W 78.068847°		 ← 391.49 m → S 71.307836°
W 78.057861°		 →
↑
391.50 m
↓
↑
391.50 m
↓
S 71.311357°
W 78.068847°		 ← 391.42 m →
153 255 m²		 S 71.311357°
W 78.057861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283157348632812 y=0.787185668945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283157348632812 × 215)
    floor (0.283157348632812 × 32768)
    floor (9278.5)     		tx = 9278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787185668945312 × 215)
    floor (0.787185668945312 × 32768)
    floor (25794.5)     		ty = 25794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9278 / 25794 ti = "15/9278/25794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9278/25794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9278 ÷ 215
    9278 ÷ 32768     		x = 0.28314208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25794 ÷ 215
    25794 ÷ 32768     		y = 0.78717041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28314208984375 × 2 - 1) × π
    -0.4337158203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36255843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78717041015625 × 2 - 1) × π
    -0.5743408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80434490169891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36255843} λ = -1.36255843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80434490169891))-π/2
    2×atan(0.164582238814356)-π/2
    2×0.163119902475686-π/2
    0.326239804951371-1.57079632675     		φ = -1.24455652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36255843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.068847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24455652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.307836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9278 KachelY 25794 -1.36255843 -1.24455652 -78.068847 -71.307836
    Oben rechts KachelX + 1 9279 KachelY 25794 -1.36236669 -1.24455652 -78.057861 -71.307836
    Unten links KachelX 9278 KachelY + 1 25795 -1.36255843 -1.24461797 -78.068847 -71.311357
    Unten rechts KachelX + 1 9279 KachelY + 1 25795 -1.36236669 -1.24461797 -78.057861 -71.311357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24455652--1.24461797) × R
    6.14500000000184e-05 × 6371000     		dl = 391.497950000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24455652--1.24461797) × R
    6.14500000000184e-05 × 6371000     		dr = 391.497950000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36255843--1.36236669) × cos(-1.24455652) × R
    0.000191739999999996 × 0.320483443957733 × 6371000     		do = 391.494736113719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36255843--1.36236669) × cos(-1.24461797) × R
    0.000191739999999996 × 0.320425234587192 × 6371000     		du = 391.423628970467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24455652)-sin(-1.24461797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320483443957733-0.320425234587192)×R²
    abs(-1.36236669--1.36255843)×5.82093705414066e-05×R²
    0.000191739999999996×5.82093705414066e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.82093705414066e-05×40589641000000     		ar = 153255.467521494m²