Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9276 / 7571
↖ ↑ ↗
← N 13.517838°
E 23.818359°		 ← 2 375.59 m → N 13.517838°
E 23.840332°		 →
↑
2 375.68 m
↓
↑
2 375.68 m
↓
N 13.496473°
E 23.818359°		 ← 2 375.81 m →
5 643 906 m²		 N 13.496473°
E 23.840332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566192626953125 y=0.462127685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566192626953125 × 214)
    floor (0.566192626953125 × 16384)
    floor (9276.5)     		tx = 9276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462127685546875 × 214)
    floor (0.462127685546875 × 16384)
    floor (7571.5)     		ty = 7571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9276 / 7571 ti = "14/9276/7571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9276/7571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9276 ÷ 214
    9276 ÷ 16384     		x = 0.566162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7571 ÷ 214
    7571 ÷ 16384     		y = 0.46209716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566162109375 × 2 - 1) × π
    0.13232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41570879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46209716796875 × 2 - 1) × π
    0.0758056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.238150517312439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41570879} λ = 0.41570879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.238150517312439))-π/2
    2×atan(1.2689001698952)-π/2
    2×0.903363550982628-π/2
    1.80672710196526-1.57079632675     		φ = 0.23593078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41570879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.818359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23593078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.517838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9276 KachelY 7571 0.41570879 0.23593078 23.818359 13.517838
    Oben rechts KachelX + 1 9277 KachelY 7571 0.41609229 0.23593078 23.840332 13.517838
    Unten links KachelX 9276 KachelY + 1 7572 0.41570879 0.23555789 23.818359 13.496473
    Unten rechts KachelX + 1 9277 KachelY + 1 7572 0.41609229 0.23555789 23.840332 13.496473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23593078-0.23555789) × R
    0.000372890000000015 × 6371000     		dl = 2375.68219000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23593078-0.23555789) × R
    0.000372890000000015 × 6371000     		dr = 2375.68219000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41570879-0.41609229) × cos(0.23593078) × R
    0.000383499999999981 × 0.972297194500327 × 6371000     		do = 2375.59283093285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41570879-0.41609229) × cos(0.23555789) × R
    0.000383499999999981 × 0.972384289222907 × 6371000     		du = 2375.80562759599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23593078)-sin(0.23555789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972297194500327-0.972384289222907)×R²
    abs(0.41609229-0.41570879)×8.70947225802832e-05×R²
    0.000383499999999981×8.70947225802832e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.70947225802832e-05×40589641000000     		ar = 5643906.41315768m²