Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9276 / 7100
↖ ↑ ↗
← N 23.322080°
E 23.818359°		 ← 2 243.65 m → N 23.322080°
E 23.840332°		 →
↑
2 243.74 m
↓
↑
2 243.74 m
↓
N 23.301901°
E 23.818359°		 ← 2 243.99 m →
5 034 541 m²		 N 23.301901°
E 23.840332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566192626953125 y=0.433380126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566192626953125 × 214)
    floor (0.566192626953125 × 16384)
    floor (9276.5)     		tx = 9276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433380126953125 × 214)
    floor (0.433380126953125 × 16384)
    floor (7100.5)     		ty = 7100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9276 / 7100 ti = "14/9276/7100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9276/7100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9276 ÷ 214
    9276 ÷ 16384     		x = 0.566162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7100 ÷ 214
    7100 ÷ 16384     		y = 0.433349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566162109375 × 2 - 1) × π
    0.13232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41570879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433349609375 × 2 - 1) × π
    0.13330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.418776755080811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41570879} λ = 0.41570879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.418776755080811))-π/2
    2×atan(1.52010096209132)-π/2
    2×0.988921705698008-π/2
    1.97784341139602-1.57079632675     		φ = 0.40704708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41570879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.818359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40704708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.322080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9276 KachelY 7100 0.41570879 0.40704708 23.818359 23.322080
    Oben rechts KachelX + 1 9277 KachelY 7100 0.41609229 0.40704708 23.840332 23.322080
    Unten links KachelX 9276 KachelY + 1 7101 0.41570879 0.40669490 23.818359 23.301901
    Unten rechts KachelX + 1 9277 KachelY + 1 7101 0.41609229 0.40669490 23.840332 23.301901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40704708-0.40669490) × R
    0.00035217999999998 × 6371000     		dl = 2243.73877999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40704708-0.40669490) × R
    0.00035217999999998 × 6371000     		dr = 2243.73877999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41570879-0.41609229) × cos(0.40704708) × R
    0.000383499999999981 × 0.918293884039723 × 6371000     		do = 2243.64770355564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41570879-0.41609229) × cos(0.40669490) × R
    0.000383499999999981 × 0.91843325494258 × 6371000     		du = 2243.98822548611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40704708)-sin(0.40669490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918293884039723-0.91843325494258)×R²
    abs(0.41609229-0.41570879)×0.00013937090285665×R²
    0.000383499999999981×0.00013937090285665×6371000²
    0.000383499999999981×0.00013937090285665×40589641000000     		ar = 5034541.43429246m²