Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9275 / 6670
↖ ↑ ↗
← N 31.690782°
E 23.796387°		 ← 2 078.92 m → N 31.690782°
E 23.818359°		 →
↑
2 079.18 m
↓
↑
2 079.18 m
↓
N 31.672084°
E 23.796387°		 ← 2 079.34 m →
4 322 877 m²		 N 31.672084°
E 23.818359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566131591796875 y=0.407135009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566131591796875 × 214)
    floor (0.566131591796875 × 16384)
    floor (9275.5)     		tx = 9275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407135009765625 × 214)
    floor (0.407135009765625 × 16384)
    floor (6670.5)     		ty = 6670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9275 / 6670 ti = "14/9275/6670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9275/6670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9275 ÷ 214
    9275 ÷ 16384     		x = 0.56610107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6670 ÷ 214
    6670 ÷ 16384     		y = 0.4071044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56610107421875 × 2 - 1) × π
    0.1322021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41532530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4071044921875 × 2 - 1) × π
    0.185791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.583679689773804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41532530} λ = 0.41532530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.583679689773804))-π/2
    2×atan(1.79262260452858)-π/2
    2×1.06195240591445-π/2
    2.1239048118289-1.57079632675     		φ = 0.55310849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41532530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.796387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55310849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.690782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9275 KachelY 6670 0.41532530 0.55310849 23.796387 31.690782
    Oben rechts KachelX + 1 9276 KachelY 6670 0.41570879 0.55310849 23.818359 31.690782
    Unten links KachelX 9275 KachelY + 1 6671 0.41532530 0.55278214 23.796387 31.672084
    Unten rechts KachelX + 1 9276 KachelY + 1 6671 0.41570879 0.55278214 23.818359 31.672084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55310849-0.55278214) × R
    0.00032634999999992 × 6371000     		dl = 2079.17584999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55310849-0.55278214) × R
    0.00032634999999992 × 6371000     		dr = 2079.17584999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41532530-0.41570879) × cos(0.55310849) × R
    0.000383489999999986 × 0.850895637806526 × 6371000     		do = 2078.92080703531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41532530-0.41570879) × cos(0.55278214) × R
    0.000383489999999986 × 0.851067035491464 × 6371000     		du = 2079.33956839413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55310849)-sin(0.55278214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850895637806526-0.851067035491464)×R²
    abs(0.41570879-0.41532530)×0.000171397684937791×R²
    0.000383489999999986×0.000171397684937791×6371000²
    0.000383489999999986×0.000171397684937791×40589641000000     		ar = 4322877.31367013m²