Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9274 / 6669
↖ ↑ ↗
← N 31.709477°
E 23.774414°		 ← 2 078.56 m → N 31.709477°
E 23.796387°		 →
↑
2 078.73 m
↓
↑
2 078.73 m
↓
N 31.690782°
E 23.774414°		 ← 2 078.98 m →
4 321 192 m²		 N 31.690782°
E 23.796387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566070556640625 y=0.407073974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566070556640625 × 214)
    floor (0.566070556640625 × 16384)
    floor (9274.5)     		tx = 9274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407073974609375 × 214)
    floor (0.407073974609375 × 16384)
    floor (6669.5)     		ty = 6669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9274 / 6669 ti = "14/9274/6669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9274/6669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9274 ÷ 214
    9274 ÷ 16384     		x = 0.5660400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6669 ÷ 214
    6669 ÷ 16384     		y = 0.40704345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5660400390625 × 2 - 1) × π
    0.132080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41494180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40704345703125 × 2 - 1) × π
    0.1859130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.584063184970764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41494180} λ = 0.41494180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.584063184970764))-π/2
    2×atan(1.79331019852345)-π/2
    2×1.06211554667317-π/2
    2.12423109334634-1.57079632675     		φ = 0.55343477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41494180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.774414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55343477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.709477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9274 KachelY 6669 0.41494180 0.55343477 23.774414 31.709477
    Oben rechts KachelX + 1 9275 KachelY 6669 0.41532530 0.55343477 23.796387 31.709477
    Unten links KachelX 9274 KachelY + 1 6670 0.41494180 0.55310849 23.774414 31.690782
    Unten rechts KachelX + 1 9275 KachelY + 1 6670 0.41532530 0.55310849 23.796387 31.690782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55343477-0.55310849) × R
    0.000326280000000012 × 6371000     		dl = 2078.72988000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55343477-0.55310849) × R
    0.000326280000000012 × 6371000     		dr = 2078.72988000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41494180-0.41532530) × cos(0.55343477) × R
    0.000383499999999981 × 0.850724186290394 × 6371000     		do = 2078.55611379321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41494180-0.41532530) × cos(0.55310849) × R
    0.000383499999999981 × 0.850895637806526 × 6371000     		du = 2078.97501759637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55343477)-sin(0.55310849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850724186290394-0.850895637806526)×R²
    abs(0.41532530-0.41494180)×0.000171451516132848×R²
    0.000383499999999981×0.000171451516132848×6371000²
    0.000383499999999981×0.000171451516132848×40589641000000     		ar = 4321192.13325899m²