Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9273 / 7639
↖ ↑ ↗
← N 12.060809°
E 23.752442°		 ← 2 389.28 m → N 12.060809°
E 23.774414°		 →
↑
2 389.44 m
↓
↑
2 389.44 m
↓
N 12.039320°
E 23.752442°		 ← 2 389.48 m →
5 709 288 m²		 N 12.039320°
E 23.774414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566009521484375 y=0.466278076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566009521484375 × 214)
    floor (0.566009521484375 × 16384)
    floor (9273.5)     		tx = 9273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466278076171875 × 214)
    floor (0.466278076171875 × 16384)
    floor (7639.5)     		ty = 7639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9273 / 7639 ti = "14/9273/7639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9273/7639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9273 ÷ 214
    9273 ÷ 16384     		x = 0.56597900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7639 ÷ 214
    7639 ÷ 16384     		y = 0.46624755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56597900390625 × 2 - 1) × π
    0.1319580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41455831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46624755859375 × 2 - 1) × π
    0.0675048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.212072843919128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41455831} λ = 0.41455831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.212072843919128))-π/2
    2×atan(1.2362379342148)-π/2
    2×0.890648577655918-π/2
    1.78129715531184-1.57079632675     		φ = 0.21050083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41455831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.752442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21050083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.060809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9273 KachelY 7639 0.41455831 0.21050083 23.752442 12.060809
    Oben rechts KachelX + 1 9274 KachelY 7639 0.41494180 0.21050083 23.774414 12.060809
    Unten links KachelX 9273 KachelY + 1 7640 0.41455831 0.21012578 23.752442 12.039320
    Unten rechts KachelX + 1 9274 KachelY + 1 7640 0.41494180 0.21012578 23.774414 12.039320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21050083-0.21012578) × R
    0.000375049999999988 × 6371000     		dl = 2389.44354999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21050083-0.21012578) × R
    0.000375049999999988 × 6371000     		dr = 2389.44354999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41455831-0.41494180) × cos(0.21050083) × R
    0.000383490000000042 × 0.977926389096791 × 6371000     		do = 2389.28421737284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41455831-0.41494180) × cos(0.21012578) × R
    0.000383490000000042 × 0.978004686901493 × 6371000     		du = 2389.47551572731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21050083)-sin(0.21012578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977926389096791-0.978004686901493)×R²
    abs(0.41494180-0.41455831)×7.8297804701255e-05×R²
    0.000383490000000042×7.8297804701255e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.8297804701255e-05×40589641000000     		ar = 5709288.37755137m²