Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9271 / 25745
↖ ↑ ↗
← S 71.134540°
W 78.145752°		 ← 395.01 m → S 71.134540°
W 78.134766°		 →
↑
395 m
↓
↑
395 m
↓
S 71.138093°
W 78.145752°		 ← 394.94 m →
156 017 m²		 S 71.138093°
W 78.134766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282943725585938 y=0.785690307617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282943725585938 × 215)
    floor (0.282943725585938 × 32768)
    floor (9271.5)     		tx = 9271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785690307617188 × 215)
    floor (0.785690307617188 × 32768)
    floor (25745.5)     		ty = 25745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9271 / 25745 ti = "15/9271/25745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9271/25745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9271 ÷ 215
    9271 ÷ 32768     		x = 0.282928466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25745 ÷ 215
    25745 ÷ 32768     		y = 0.785675048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282928466796875 × 2 - 1) × π
    -0.43414306640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.36390067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785675048828125 × 2 - 1) × π
    -0.57135009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79494926937338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36390067} λ = -1.36390067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79494926937338))-π/2
    2×atan(0.166135880310365)-π/2
    2×0.164632192225775-π/2
    0.32926438445155-1.57079632675     		φ = -1.24153194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36390067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.145752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24153194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.134540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9271 KachelY 25745 -1.36390067 -1.24153194 -78.145752 -71.134540
    Oben rechts KachelX + 1 9272 KachelY 25745 -1.36370892 -1.24153194 -78.134766 -71.134540
    Unten links KachelX 9271 KachelY + 1 25746 -1.36390067 -1.24159394 -78.145752 -71.138093
    Unten rechts KachelX + 1 9272 KachelY + 1 25746 -1.36370892 -1.24159394 -78.134766 -71.138093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24153194--1.24159394) × R
    6.20000000000065e-05 × 6371000     		dl = 395.002000000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24153194--1.24159394) × R
    6.20000000000065e-05 × 6371000     		dr = 395.002000000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36390067--1.36370892) × cos(-1.24153194) × R
    0.000191749999999935 × 0.323347019542968 × 6371000     		do = 395.013410444073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36390067--1.36370892) × cos(-1.24159394) × R
    0.000191749999999935 × 0.323288349533144 × 6371000     		du = 394.941736857275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24153194)-sin(-1.24159394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323347019542968-0.323288349533144)×R²
    abs(-1.36370892--1.36390067)×5.86700098235138e-05×R²
    0.000191749999999935×5.86700098235138e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.86700098235138e-05×40589641000000     		ar = 156016.931596955m²