Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9270 / 7649
↖ ↑ ↗
← N 11.845847°
E 23.686523°		 ← 2 391.25 m → N 11.845847°
E 23.708496°		 →
↑
2 391.29 m
↓
↑
2 391.29 m
↓
N 11.824341°
E 23.686523°		 ← 2 391.43 m →
5 718 388 m²		 N 11.824341°
E 23.708496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565826416015625 y=0.466888427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565826416015625 × 214)
    floor (0.565826416015625 × 16384)
    floor (9270.5)     		tx = 9270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466888427734375 × 214)
    floor (0.466888427734375 × 16384)
    floor (7649.5)     		ty = 7649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9270 / 7649 ti = "14/9270/7649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9270/7649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9270 ÷ 214
    9270 ÷ 16384     		x = 0.5657958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7649 ÷ 214
    7649 ÷ 16384     		y = 0.46685791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5657958984375 × 2 - 1) × π
    0.131591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41340782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46685791015625 × 2 - 1) × π
    0.0662841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.208237891949524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41340782} λ = 0.41340782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.208237891949524))-π/2
    2×atan(1.23150610009158)-π/2
    2×0.888772680198289-π/2
    1.77754536039658-1.57079632675     		φ = 0.20674903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41340782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.686523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20674903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.845847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9270 KachelY 7649 0.41340782 0.20674903 23.686523 11.845847
    Oben rechts KachelX + 1 9271 KachelY 7649 0.41379132 0.20674903 23.708496 11.845847
    Unten links KachelX 9270 KachelY + 1 7650 0.41340782 0.20637369 23.686523 11.824341
    Unten rechts KachelX + 1 9271 KachelY + 1 7650 0.41379132 0.20637369 23.708496 11.824341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20674903-0.20637369) × R
    0.000375340000000002 × 6371000     		dl = 2391.29114000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20674903-0.20637369) × R
    0.000375340000000002 × 6371000     		dr = 2391.29114000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41340782-0.41379132) × cos(0.20674903) × R
    0.000383500000000037 × 0.978703442106091 × 6371000     		do = 2391.24507797404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41340782-0.41379132) × cos(0.20637369) × R
    0.000383500000000037 × 0.978780422679815 × 6371000     		du = 2391.43316295473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20674903)-sin(0.20637369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978703442106091-0.978780422679815)×R²
    abs(0.41379132-0.41340782)×7.69805737232954e-05×R²
    0.000383500000000037×7.69805737232954e-05×6371000²
    0.000383500000000037×7.69805737232954e-05×40589641000000     		ar = 5718388.11863597m²