Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9270 / 7641
↖ ↑ ↗
← N 12.017830°
E 23.686523°		 ← 2 389.73 m → N 12.017830°
E 23.708496°		 →
↑
2 389.83 m
↓
↑
2 389.83 m
↓
N 11.996338°
E 23.686523°		 ← 2 389.92 m →
5 711 263 m²		 N 11.996338°
E 23.708496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565826416015625 y=0.466400146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565826416015625 × 214)
    floor (0.565826416015625 × 16384)
    floor (9270.5)     		tx = 9270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466400146484375 × 214)
    floor (0.466400146484375 × 16384)
    floor (7641.5)     		ty = 7641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9270 / 7641 ti = "14/9270/7641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9270/7641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9270 ÷ 214
    9270 ÷ 16384     		x = 0.5657958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7641 ÷ 214
    7641 ÷ 16384     		y = 0.46636962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5657958984375 × 2 - 1) × π
    0.131591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41340782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46636962890625 × 2 - 1) × π
    0.0672607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.211305853525208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41340782} λ = 0.41340782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.211305853525208))-π/2
    2×atan(1.23529011512519)-π/2
    2×0.890273517564553-π/2
    1.78054703512911-1.57079632675     		φ = 0.20975071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41340782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.686523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20975071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.017830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9270 KachelY 7641 0.41340782 0.20975071 23.686523 12.017830
    Oben rechts KachelX + 1 9271 KachelY 7641 0.41379132 0.20975071 23.708496 12.017830
    Unten links KachelX 9270 KachelY + 1 7642 0.41340782 0.20937560 23.686523 11.996338
    Unten rechts KachelX + 1 9271 KachelY + 1 7642 0.41379132 0.20937560 23.708496 11.996338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20975071-0.20937560) × R
    0.000375110000000012 × 6371000     		dl = 2389.82581000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20975071-0.20937560) × R
    0.000375110000000012 × 6371000     		dr = 2389.82581000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41340782-0.41379132) × cos(0.20975071) × R
    0.000383500000000037 × 0.978082851301931 × 6371000     		do = 2389.72880180493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41340782-0.41379132) × cos(0.20937560) × R
    0.000383500000000037 × 0.978160886422083 × 6371000     		du = 2389.91946333624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20975071)-sin(0.20937560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978082851301931-0.978160886422083)×R²
    abs(0.41379132-0.41340782)×7.80351201523644e-05×R²
    0.000383500000000037×7.80351201523644e-05×6371000²
    0.000383500000000037×7.80351201523644e-05×40589641000000     		ar = 5711263.46034633m²