Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9270 / 25736
↖ ↑ ↗
← S 71.102543°
W 78.156739°		 ← 395.66 m → S 71.102543°
W 78.145752°		 →
↑
395.58 m
↓
↑
395.58 m
↓
S 71.106100°
W 78.156739°		 ← 395.59 m →
156 499 m²		 S 71.106100°
W 78.145752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282913208007812 y=0.785415649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282913208007812 × 215)
    floor (0.282913208007812 × 32768)
    floor (9270.5)     		tx = 9270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785415649414062 × 215)
    floor (0.785415649414062 × 32768)
    floor (25736.5)     		ty = 25736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9270 / 25736 ti = "15/9270/25736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9270/25736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9270 ÷ 215
    9270 ÷ 32768     		x = 0.28289794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25736 ÷ 215
    25736 ÷ 32768     		y = 0.785400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28289794921875 × 2 - 1) × π
    -0.4342041015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.36409242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785400390625 × 2 - 1) × π
    -0.57080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79322354098706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36409242} λ = -1.36409242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79322354098706))-π/2
    2×atan(0.1664228332452)-π/2
    2×0.16491142470898-π/2
    0.329822849417961-1.57079632675     		φ = -1.24097348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36409242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.156739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24097348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.102543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9270 KachelY 25736 -1.36409242 -1.24097348 -78.156739 -71.102543
    Oben rechts KachelX + 1 9271 KachelY 25736 -1.36390067 -1.24097348 -78.145752 -71.102543
    Unten links KachelX 9270 KachelY + 1 25737 -1.36409242 -1.24103557 -78.156739 -71.106100
    Unten rechts KachelX + 1 9271 KachelY + 1 25737 -1.36390067 -1.24103557 -78.145752 -71.106100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24097348--1.24103557) × R
    6.20899999999036e-05 × 6371000     		dl = 395.575389999386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24097348--1.24103557) × R
    6.20899999999036e-05 × 6371000     		dr = 395.575389999386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36409242--1.36390067) × cos(-1.24097348) × R
    0.000191749999999935 × 0.323875428877662 × 6371000     		do = 395.658936027402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36409242--1.36390067) × cos(-1.24103557) × R
    0.000191749999999935 × 0.323816684920922 × 6371000     		du = 395.587172104148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24097348)-sin(-1.24103557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323875428877662-0.323816684920922)×R²
    abs(-1.36390067--1.36409242)×5.87439567398818e-05×R²
    0.000191749999999935×5.87439567398818e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.87439567398818e-05×40589641000000     		ar = 156498.743954687m²