Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 927 / 933
↖ ↑ ↗
← S 81.361287°
E145.898438°		 ← 5 871.74 m → S 81.361287°
E146.250000°		 →
↑
5 853.93 m
↓
↑
5 853.93 m
↓
S 81.413933°
E145.898438°		 ← 5 836.23 m →
34 268 819 m²		 S 81.413933°
E146.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90576171875 y=0.91162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90576171875 × 210)
    floor (0.90576171875 × 1024)
    floor (927.5)     		tx = 927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91162109375 × 210)
    floor (0.91162109375 × 1024)
    floor (933.5)     		ty = 933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 927 / 933 ti = "10/927/933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/927/933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 927 ÷ 210
    927 ÷ 1024     		x = 0.9052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 933 ÷ 210
    933 ÷ 1024     		y = 0.9111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9052734375 × 2 - 1) × π
    0.810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54640811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9111328125 × 2 - 1) × π
    -0.822265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.58322364672559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54640811} λ = 2.54640811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58322364672559))-π/2
    2×atan(0.0755301286980328)-π/2
    2×0.0753869902240554-π/2
    0.150773980448111-1.57079632675     		φ = -1.42002235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54640811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42002235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.361287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 927 KachelY 933 2.54640811 -1.42002235 145.898438 -81.361287
    Oben rechts KachelX + 1 928 KachelY 933 2.55254403 -1.42002235 146.250000 -81.361287
    Unten links KachelX 927 KachelY + 1 934 2.54640811 -1.42094119 145.898438 -81.413933
    Unten rechts KachelX + 1 928 KachelY + 1 934 2.55254403 -1.42094119 146.250000 -81.413933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42002235--1.42094119) × R
    0.000918839999999976 × 6371000     		dl = 5853.92963999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42002235--1.42094119) × R
    0.000918839999999976 × 6371000     		dr = 5853.92963999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54640811-2.55254403) × cos(-1.42002235) × R
    0.00613592000000018 × 0.150203373507267 × 6371000     		do = 5871.74221422918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54640811-2.55254403) × cos(-1.42094119) × R
    0.00613592000000018 × 0.149294894358631 × 6371000     		du = 5836.22799611786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42002235)-sin(-1.42094119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150203373507267-0.149294894358631)×R²
    abs(2.55254403-2.54640811)×0.000908479148636121×R²
    0.00613592000000018×0.000908479148636121×6371000²
    0.00613592000000018×0.000908479148636121×40589641000000     		ar = 34268819.3302997m²