Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 927 / 927
↖ ↑ ↗
← S 81.038617°
E145.898438°		 ← 6 089.30 m → S 81.038617°
E146.250000°		 →
↑
6 070.86 m
↓
↑
6 070.86 m
↓
S 81.093214°
E145.898438°		 ← 6 052.50 m →
36 855 623 m²		 S 81.093214°
E146.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90576171875 y=0.90576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90576171875 × 210)
    floor (0.90576171875 × 1024)
    floor (927.5)     		tx = 927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90576171875 × 210)
    floor (0.90576171875 × 1024)
    floor (927.5)     		ty = 927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 927 / 927 ti = "10/927/927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/927/927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 927 ÷ 210
    927 ÷ 1024     		x = 0.9052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 927 ÷ 210
    927 ÷ 1024     		y = 0.9052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9052734375 × 2 - 1) × π
    0.810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54640811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9052734375 × 2 - 1) × π
    -0.810546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.54640810781738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54640811} λ = 2.54640811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54640810781738))-π/2
    2×atan(0.0783626312231836)-π/2
    2×0.0782028191050348-π/2
    0.15640563821007-1.57079632675     		φ = -1.41439069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54640811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41439069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.038617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 927 KachelY 927 2.54640811 -1.41439069 145.898438 -81.038617
    Oben rechts KachelX + 1 928 KachelY 927 2.55254403 -1.41439069 146.250000 -81.038617
    Unten links KachelX 927 KachelY + 1 928 2.54640811 -1.41534358 145.898438 -81.093214
    Unten rechts KachelX + 1 928 KachelY + 1 928 2.55254403 -1.41534358 146.250000 -81.093214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41439069--1.41534358) × R
    0.000952889999999984 × 6371000     		dl = 6070.8621899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41439069--1.41534358) × R
    0.000952889999999984 × 6371000     		dr = 6070.8621899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54640811-2.55254403) × cos(-1.41439069) × R
    0.00613592000000018 × 0.155768731682034 × 6371000     		do = 6089.30289724874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54640811-2.55254403) × cos(-1.41534358) × R
    0.00613592000000018 × 0.154827402507351 × 6371000     		du = 6052.50450768256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41439069)-sin(-1.41534358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155768731682034-0.154827402507351)×R²
    abs(2.55254403-2.54640811)×0.000941329174683481×R²
    0.00613592000000018×0.000941329174683481×6371000²
    0.00613592000000018×0.000941329174683481×40589641000000     		ar = 36855622.5351634m²