Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9269 / 7625
↖ ↑ ↗
← N 12.361466°
E 23.664551°		 ← 2 386.57 m → N 12.361466°
E 23.686523°		 →
↑
2 386.70 m
↓
↑
2 386.70 m
↓
N 12.340002°
E 23.664551°		 ← 2 386.77 m →
5 696 276 m²		 N 12.340002°
E 23.686523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565765380859375 y=0.465423583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565765380859375 × 214)
    floor (0.565765380859375 × 16384)
    floor (9269.5)     		tx = 9269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465423583984375 × 214)
    floor (0.465423583984375 × 16384)
    floor (7625.5)     		ty = 7625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9269 / 7625 ti = "14/9269/7625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9269/7625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9269 ÷ 214
    9269 ÷ 16384     		x = 0.56573486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7625 ÷ 214
    7625 ÷ 16384     		y = 0.46539306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56573486328125 × 2 - 1) × π
    0.1314697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41302433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46539306640625 × 2 - 1) × π
    0.0692138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.217441776676575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41302433} λ = 0.41302433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.217441776676575))-π/2
    2×atan(1.24289306203628)-π/2
    2×0.893272304146132-π/2
    1.78654460829226-1.57079632675     		φ = 0.21574828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41302433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.664551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21574828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.361466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9269 KachelY 7625 0.41302433 0.21574828 23.664551 12.361466
    Oben rechts KachelX + 1 9270 KachelY 7625 0.41340782 0.21574828 23.686523 12.361466
    Unten links KachelX 9269 KachelY + 1 7626 0.41302433 0.21537366 23.664551 12.340002
    Unten rechts KachelX + 1 9270 KachelY + 1 7626 0.41340782 0.21537366 23.686523 12.340002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21574828-0.21537366) × R
    0.000374619999999992 × 6371000     		dl = 2386.70401999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21574828-0.21537366) × R
    0.000374619999999992 × 6371000     		dr = 2386.70401999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41302433-0.41340782) × cos(0.21574828) × R
    0.000383489999999986 × 0.976816477092368 × 6371000     		do = 2386.57246394768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41302433-0.41340782) × cos(0.21537366) × R
    0.000383489999999986 × 0.97689660660506 × 6371000     		du = 2386.76823755821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21574828)-sin(0.21537366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976816477092368-0.97689660660506)×R²
    abs(0.41340782-0.41302433)×8.01295126924284e-05×R²
    0.000383489999999986×8.01295126924284e-05×6371000²
    0.000383489999999986×8.01295126924284e-05×40589641000000     		ar = 5696275.78717459m²