Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9269 / 7129
↖ ↑ ↗
← N 70.754344°
W 78.167724°		 ← 402.65 m → N 70.754344°
W 78.156739°		 →
↑
402.71 m
↓
↑
402.71 m
↓
N 70.750723°
W 78.167724°		 ← 402.73 m →
162 168 m²		 N 70.750723°
W 78.156739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282882690429688 y=0.217575073242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282882690429688 × 215)
    floor (0.282882690429688 × 32768)
    floor (9269.5)     		tx = 9269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217575073242188 × 215)
    floor (0.217575073242188 × 32768)
    floor (7129.5)     		ty = 7129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9269 / 7129 ti = "15/9269/7129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9269/7129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9269 ÷ 215
    9269 ÷ 32768     		x = 0.282867431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7129 ÷ 215
    7129 ÷ 32768     		y = 0.217559814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282867431640625 × 2 - 1) × π
    -0.43426513671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.36428416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217559814453125 × 2 - 1) × π
    0.56488037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.77462402393448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36428416} λ = -1.36428416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77462402393448))-π/2
    2×atan(5.89806318880563)-π/2
    2×1.40284630051638-π/2
    2.80569260103276-1.57079632675     		φ = 1.23489627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36428416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.167724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23489627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.754344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9269 KachelY 7129 -1.36428416 1.23489627 -78.167724 70.754344
    Oben rechts KachelX + 1 9270 KachelY 7129 -1.36409242 1.23489627 -78.156739 70.754344
    Unten links KachelX 9269 KachelY + 1 7130 -1.36428416 1.23483306 -78.167724 70.750723
    Unten rechts KachelX + 1 9270 KachelY + 1 7130 -1.36409242 1.23483306 -78.156739 70.750723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23489627-1.23483306) × R
    6.32099999999802e-05 × 6371000     		dl = 402.710909999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23489627-1.23483306) × R
    6.32099999999802e-05 × 6371000     		dr = 402.710909999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36428416--1.36409242) × cos(1.23489627) × R
    0.000191739999999996 × 0.32961905950718 × 6371000     		do = 402.654580611767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36428416--1.36409242) × cos(1.23483306) × R
    0.000191739999999996 × 0.329678736295608 × 6371000     		du = 402.727480316816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23489627)-sin(1.23483306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32961905950718-0.329678736295608)×R²
    abs(-1.36409242--1.36428416)×5.9676788427887e-05×R²
    0.000191739999999996×5.9676788427887e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.9676788427887e-05×40589641000000     		ar = 162168.071381285m²