Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9269 / 7128
↖ ↑ ↗
← N 70.757966°
W 78.167724°		 ← 402.58 m → N 70.757966°
W 78.156739°		 →
↑
402.65 m
↓
↑
402.65 m
↓
N 70.754344°
W 78.167724°		 ← 402.65 m →
162 113 m²		 N 70.754344°
W 78.156739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282882690429688 y=0.217544555664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282882690429688 × 215)
    floor (0.282882690429688 × 32768)
    floor (9269.5)     		tx = 9269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217544555664062 × 215)
    floor (0.217544555664062 × 32768)
    floor (7128.5)     		ty = 7128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9269 / 7128 ti = "15/9269/7128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9269/7128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9269 ÷ 215
    9269 ÷ 32768     		x = 0.282867431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7128 ÷ 215
    7128 ÷ 32768     		y = 0.217529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282867431640625 × 2 - 1) × π
    -0.43426513671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.36428416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217529296875 × 2 - 1) × π
    0.56494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77481577153296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36428416} λ = -1.36428416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77481577153296))-π/2
    2×atan(5.89919423669216)-π/2
    2×1.40287789948722-π/2
    2.80575579897444-1.57079632675     		φ = 1.23495947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36428416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.167724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23495947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.757966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9269 KachelY 7128 -1.36428416 1.23495947 -78.167724 70.757966
    Oben rechts KachelX + 1 9270 KachelY 7128 -1.36409242 1.23495947 -78.156739 70.757966
    Unten links KachelX 9269 KachelY + 1 7129 -1.36428416 1.23489627 -78.167724 70.754344
    Unten rechts KachelX + 1 9270 KachelY + 1 7129 -1.36409242 1.23489627 -78.156739 70.754344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23495947-1.23489627) × R
    6.3200000000041e-05 × 6371000     		dl = 402.647200000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23495947-1.23489627) × R
    6.3200000000041e-05 × 6371000     		dr = 402.647200000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36428416--1.36409242) × cos(1.23495947) × R
    0.000191739999999996 × 0.329559390843107 × 6371000     		do = 402.58169083123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36428416--1.36409242) × cos(1.23489627) × R
    0.000191739999999996 × 0.32961905950718 × 6371000     		du = 402.654580611767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23495947)-sin(1.23489627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329559390843107-0.32961905950718)×R²
    abs(-1.36409242--1.36428416)×5.96686640738087e-05×R²
    0.000191739999999996×5.96686640738087e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.96686640738087e-05×40589641000000     		ar = 162113.065071164m²