Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9269 / 25747
↖ ↑ ↗
← S 71.141644°
W 78.167724°		 ← 394.85 m → S 71.141644°
W 78.156739°		 →
↑
394.81 m
↓
↑
394.81 m
↓
S 71.145194°
W 78.167724°		 ← 394.78 m →
155 877 m²		 S 71.145194°
W 78.156739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282882690429688 y=0.785751342773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282882690429688 × 215)
    floor (0.282882690429688 × 32768)
    floor (9269.5)     		tx = 9269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785751342773438 × 215)
    floor (0.785751342773438 × 32768)
    floor (25747.5)     		ty = 25747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9269 / 25747 ti = "15/9269/25747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9269/25747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9269 ÷ 215
    9269 ÷ 32768     		x = 0.282867431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25747 ÷ 215
    25747 ÷ 32768     		y = 0.785736083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282867431640625 × 2 - 1) × π
    -0.43426513671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.36428416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785736083984375 × 2 - 1) × π
    -0.57147216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79533276457034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36428416} λ = -1.36428416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79533276457034))-π/2
    2×atan(0.166072180213345)-π/2
    2×0.164570202460424-π/2
    0.329140404920847-1.57079632675     		φ = -1.24165592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36428416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.167724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24165592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.141644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9269 KachelY 25747 -1.36428416 -1.24165592 -78.167724 -71.141644
    Oben rechts KachelX + 1 9270 KachelY 25747 -1.36409242 -1.24165592 -78.156739 -71.141644
    Unten links KachelX 9269 KachelY + 1 25748 -1.36428416 -1.24171789 -78.167724 -71.145194
    Unten rechts KachelX + 1 9270 KachelY + 1 25748 -1.36409242 -1.24171789 -78.156739 -71.145194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24165592--1.24171789) × R
    6.19700000001888e-05 × 6371000     		dl = 394.810870001203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24165592--1.24171789) × R
    6.19700000001888e-05 × 6371000     		dr = 394.810870001203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36428416--1.36409242) × cos(-1.24165592) × R
    0.000191739999999996 × 0.323229697207011 × 6371000     		do = 394.849491909683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36428416--1.36409242) × cos(-1.24171789) × R
    0.000191739999999996 × 0.32317105310259 × 6371000     		du = 394.777853706157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24165592)-sin(-1.24171789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323229697207011-0.32317105310259)×R²
    abs(-1.36409242--1.36428416)×5.8644104421024e-05×R²
    0.000191739999999996×5.8644104421024e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.8644104421024e-05×40589641000000     		ar = 155876.729699577m²