Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9269 / 11301
↖ ↑ ↗
← S 56.231139°
E 23.664551°		 ← 1 358.05 m → S 56.231139°
E 23.686523°		 →
↑
1 357.85 m
↓
↑
1 357.85 m
↓
S 56.243350°
E 23.664551°		 ← 1 357.61 m →
1 843 731 m²		 S 56.243350°
E 23.686523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565765380859375 y=0.689788818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565765380859375 × 214)
    floor (0.565765380859375 × 16384)
    floor (9269.5)     		tx = 9269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689788818359375 × 214)
    floor (0.689788818359375 × 16384)
    floor (11301.5)     		ty = 11301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9269 / 11301 ti = "14/9269/11301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9269/11301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9269 ÷ 214
    9269 ÷ 16384     		x = 0.56573486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11301 ÷ 214
    11301 ÷ 16384     		y = 0.68975830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56573486328125 × 2 - 1) × π
    0.1314697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41302433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68975830078125 × 2 - 1) × π
    -0.3795166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19228656735004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41302433} λ = 0.41302433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19228656735004))-π/2
    2×atan(0.303526436345029)-π/2
    2×0.294688908892165-π/2
    0.589377817784329-1.57079632675     		φ = -0.98141851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41302433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.664551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98141851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.231139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9269 KachelY 11301 0.41302433 -0.98141851 23.664551 -56.231139
    Oben rechts KachelX + 1 9270 KachelY 11301 0.41340782 -0.98141851 23.686523 -56.231139
    Unten links KachelX 9269 KachelY + 1 11302 0.41302433 -0.98163164 23.664551 -56.243350
    Unten rechts KachelX + 1 9270 KachelY + 1 11302 0.41340782 -0.98163164 23.686523 -56.243350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98141851--0.98163164) × R
    0.000213130000000006 × 6371000     		dl = 1357.85123000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98141851--0.98163164) × R
    0.000213130000000006 × 6371000     		dr = 1357.85123000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41302433-0.41340782) × cos(-0.98141851) × R
    0.000383489999999986 × 0.555843917924172 × 6371000     		do = 1358.04608120384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41302433-0.41340782) × cos(-0.98163164) × R
    0.000383489999999986 × 0.555666733171665 × 6371000     		du = 1357.61318079595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98141851)-sin(-0.98163164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555843917924172-0.555666733171665)×R²
    abs(0.41340782-0.41302433)×0.000177184752507165×R²
    0.000383489999999986×0.000177184752507165×6371000²
    0.000383489999999986×0.000177184752507165×40589641000000     		ar = 1843730.64156369m²