Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9268 / 6861
↖ ↑ ↗
← N 28.052591°
E 23.642578°		 ← 2 156.23 m → N 28.052591°
E 23.664551°		 →
↑
2 156.39 m
↓
↑
2 156.39 m
↓
N 28.033198°
E 23.642578°		 ← 2 156.62 m →
4 650 104 m²		 N 28.033198°
E 23.664551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565704345703125 y=0.418792724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565704345703125 × 214)
    floor (0.565704345703125 × 16384)
    floor (9268.5)     		tx = 9268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418792724609375 × 214)
    floor (0.418792724609375 × 16384)
    floor (6861.5)     		ty = 6861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9268 / 6861 ti = "14/9268/6861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9268/6861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9268 ÷ 214
    9268 ÷ 16384     		x = 0.565673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6861 ÷ 214
    6861 ÷ 16384     		y = 0.41876220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565673828125 × 2 - 1) × π
    0.13134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41264083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41876220703125 × 2 - 1) × π
    0.1624755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.510432107154358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41264083} λ = 0.41264083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.510432107154358))-π/2
    2×atan(1.66601093467646)-π/2
    2×1.03020320018202-π/2
    2.06040640036405-1.57079632675     		φ = 0.48961007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41264083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.642578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48961007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.052591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9268 KachelY 6861 0.41264083 0.48961007 23.642578 28.052591
    Oben rechts KachelX + 1 9269 KachelY 6861 0.41302433 0.48961007 23.664551 28.052591
    Unten links KachelX 9268 KachelY + 1 6862 0.41264083 0.48927160 23.642578 28.033198
    Unten rechts KachelX + 1 9269 KachelY + 1 6862 0.41302433 0.48927160 23.664551 28.033198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48961007-0.48927160) × R
    0.000338470000000035 × 6371000     		dl = 2156.39237000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48961007-0.48927160) × R
    0.000338470000000035 × 6371000     		dr = 2156.39237000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41264083-0.41302433) × cos(0.48961007) × R
    0.000383499999999981 × 0.882516302680718 × 6371000     		do = 2156.23310823918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41264083-0.41302433) × cos(0.48927160) × R
    0.000383499999999981 × 0.882675428408608 × 6371000     		du = 2156.62189670893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48961007)-sin(0.48927160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882516302680718-0.882675428408608)×R²
    abs(0.41302433-0.41264083)×0.000159125727889342×R²
    0.000383499999999981×0.000159125727889342×6371000²
    0.000383499999999981×0.000159125727889342×40589641000000     		ar = 4650103.85718769m²