Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9268 / 11388
↖ ↑ ↗
← N 75.325592°
W129.089355°		 ← 154.73 m → N 75.325592°
W129.083862°		 →
↑
154.75 m
↓
↑
154.75 m
↓
N 75.324201°
W129.089355°		 ← 154.74 m →
23 946 m²		 N 75.324201°
W129.083862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141426086425781 y=0.173774719238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141426086425781 × 216)
    floor (0.141426086425781 × 65536)
    floor (9268.5)     		tx = 9268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173774719238281 × 216)
    floor (0.173774719238281 × 65536)
    floor (11388.5)     		ty = 11388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9268 / 11388 ti = "16/9268/11388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9268/11388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9268 ÷ 216
    9268 ÷ 65536     		x = 0.14141845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11388 ÷ 216
    11388 ÷ 65536     		y = 0.17376708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14141845703125 × 2 - 1) × π
    -0.7171630859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.25303428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17376708984375 × 2 - 1) × π
    0.6524658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.0497818277536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25303428} λ = -2.25303428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0497818277536))-π/2
    2×atan(7.76620655073182)-π/2
    2×1.44273796352145-π/2
    2.88547592704291-1.57079632675     		φ = 1.31467960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25303428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.089355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31467960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.325592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9268 KachelY 11388 -2.25303428 1.31467960 -129.089355 75.325592
    Oben rechts KachelX + 1 9269 KachelY 11388 -2.25293841 1.31467960 -129.083862 75.325592
    Unten links KachelX 9268 KachelY + 1 11389 -2.25303428 1.31465531 -129.089355 75.324201
    Unten rechts KachelX + 1 9269 KachelY + 1 11389 -2.25293841 1.31465531 -129.083862 75.324201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31467960-1.31465531) × R
    2.42900000000379e-05 × 6371000     		dl = 154.751590000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31467960-1.31465531) × R
    2.42900000000379e-05 × 6371000     		dr = 154.751590000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25303428--2.25293841) × cos(1.31467960) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.253325866655583 × 6371000     		do = 154.728341177878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25303428--2.25293841) × cos(1.31465531) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.253349364265416 × 6371000     		du = 154.742693230588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31467960)-sin(1.31465531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.253325866655583-0.253349364265416)×R²
    abs(-2.25293841--2.25303428)×2.34976098329454e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.34976098329454e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.34976098329454e-05×40589641000000     		ar = 23945.5673178173m²