Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9267 / 7605
↖ ↑ ↗
← N 12.790375°
E 23.620606°		 ← 2 382.59 m → N 12.790375°
E 23.642578°		 →
↑
2 382.69 m
↓
↑
2 382.69 m
↓
N 12.768947°
E 23.620606°		 ← 2 382.79 m →
5 677 215 m²		 N 12.768947°
E 23.642578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565643310546875 y=0.464202880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565643310546875 × 214)
    floor (0.565643310546875 × 16384)
    floor (9267.5)     		tx = 9267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464202880859375 × 214)
    floor (0.464202880859375 × 16384)
    floor (7605.5)     		ty = 7605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9267 / 7605 ti = "14/9267/7605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9267/7605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9267 ÷ 214
    9267 ÷ 16384     		x = 0.56561279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7605 ÷ 214
    7605 ÷ 16384     		y = 0.46417236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56561279296875 × 2 - 1) × π
    0.1312255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41225734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46417236328125 × 2 - 1) × π
    0.0716552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.225111680615784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41225734} λ = 0.41225734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.225111680615784))-π/2
    2×atan(1.25246258417409)-π/2
    2×0.897015239698275-π/2
    1.79403047939655-1.57079632675     		φ = 0.22323415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41225734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.620606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22323415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.790375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9267 KachelY 7605 0.41225734 0.22323415 23.620606 12.790375
    Oben rechts KachelX + 1 9268 KachelY 7605 0.41264083 0.22323415 23.642578 12.790375
    Unten links KachelX 9267 KachelY + 1 7606 0.41225734 0.22286016 23.620606 12.768947
    Unten rechts KachelX + 1 9268 KachelY + 1 7606 0.41264083 0.22286016 23.642578 12.768947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22323415-0.22286016) × R
    0.000373989999999991 × 6371000     		dl = 2382.69028999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22323415-0.22286016) × R
    0.000373989999999991 × 6371000     		dr = 2382.69028999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41225734-0.41264083) × cos(0.22323415) × R
    0.000383489999999986 × 0.975186559419886 × 6371000     		do = 2382.59022498379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41225734-0.41264083) × cos(0.22286016) × R
    0.000383489999999986 × 0.975269286873611 × 6371000     		du = 2382.79234592228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22323415)-sin(0.22286016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975186559419886-0.975269286873611)×R²
    abs(0.41264083-0.41225734)×8.27274537251732e-05×R²
    0.000383489999999986×8.27274537251732e-05×6371000²
    0.000383489999999986×8.27274537251732e-05×40589641000000     		ar = 5677215.45608807m²