Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9267 / 6870
↖ ↑ ↗
← N 27.877928°
E 23.620606°		 ← 2 159.67 m → N 27.877928°
E 23.642578°		 →
↑
2 159.90 m
↓
↑
2 159.90 m
↓
N 27.858504°
E 23.620606°		 ← 2 160.06 m →
4 665 081 m²		 N 27.858504°
E 23.642578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565643310546875 y=0.419342041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565643310546875 × 214)
    floor (0.565643310546875 × 16384)
    floor (9267.5)     		tx = 9267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419342041015625 × 214)
    floor (0.419342041015625 × 16384)
    floor (6870.5)     		ty = 6870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9267 / 6870 ti = "14/9267/6870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9267/6870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9267 ÷ 214
    9267 ÷ 16384     		x = 0.56561279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6870 ÷ 214
    6870 ÷ 16384     		y = 0.4193115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56561279296875 × 2 - 1) × π
    0.1312255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41225734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4193115234375 × 2 - 1) × π
    0.161376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.506980650381714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41225734} λ = 0.41225734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506980650381714))-π/2
    2×atan(1.66027068176848)-π/2
    2×1.02867898241991-π/2
    2.05735796483981-1.57079632675     		φ = 0.48656164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41225734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.620606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48656164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.877928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9267 KachelY 6870 0.41225734 0.48656164 23.620606 27.877928
    Oben rechts KachelX + 1 9268 KachelY 6870 0.41264083 0.48656164 23.642578 27.877928
    Unten links KachelX 9267 KachelY + 1 6871 0.41225734 0.48622262 23.620606 27.858504
    Unten rechts KachelX + 1 9268 KachelY + 1 6871 0.41264083 0.48622262 23.642578 27.858504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48656164-0.48622262) × R
    0.000339020000000023 × 6371000     		dl = 2159.89642000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48656164-0.48622262) × R
    0.000339020000000023 × 6371000     		dr = 2159.89642000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41225734-0.41264083) × cos(0.48656164) × R
    0.000383489999999986 × 0.883945821045196 × 6371000     		do = 2159.66950353624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41225734-0.41264083) × cos(0.48622262) × R
    0.000383489999999986 × 0.884104292380278 × 6371000     		du = 2160.0566830459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48656164)-sin(0.48622262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883945821045196-0.884104292380278)×R²
    abs(0.41264083-0.41225734)×0.000158471335081845×R²
    0.000383489999999986×0.000158471335081845×6371000²
    0.000383489999999986×0.000158471335081845×40589641000000     		ar = 4665080.60757139m²