Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9265 / 7567
↖ ↑ ↗
← N 13.603278°
E 23.576660°		 ← 2 374.68 m → N 13.603278°
E 23.598633°		 →
↑
2 374.79 m
↓
↑
2 374.79 m
↓
N 13.581921°
E 23.576660°		 ← 2 374.89 m →
5 639 613 m²		 N 13.581921°
E 23.598633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565521240234375 y=0.461883544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565521240234375 × 214)
    floor (0.565521240234375 × 16384)
    floor (9265.5)     		tx = 9265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461883544921875 × 214)
    floor (0.461883544921875 × 16384)
    floor (7567.5)     		ty = 7567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9265 / 7567 ti = "14/9265/7567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9265/7567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9265 ÷ 214
    9265 ÷ 16384     		x = 0.56549072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7567 ÷ 214
    7567 ÷ 16384     		y = 0.46185302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56549072265625 × 2 - 1) × π
    0.1309814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41149035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46185302734375 × 2 - 1) × π
    0.0762939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.239684498100281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41149035} λ = 0.41149035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.239684498100281))-π/2
    2×atan(1.2708481320638)-π/2
    2×0.904109159632705-π/2
    1.80821831926541-1.57079632675     		φ = 0.23742199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41149035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.576660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23742199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.603278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9265 KachelY 7567 0.41149035 0.23742199 23.576660 13.603278
    Oben rechts KachelX + 1 9266 KachelY 7567 0.41187384 0.23742199 23.598633 13.603278
    Unten links KachelX 9265 KachelY + 1 7568 0.41149035 0.23704924 23.576660 13.581921
    Unten rechts KachelX + 1 9266 KachelY + 1 7568 0.41187384 0.23704924 23.598633 13.581921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23742199-0.23704924) × R
    0.000372750000000005 × 6371000     		dl = 2374.79025000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23742199-0.23704924) × R
    0.000372750000000005 × 6371000     		dr = 2374.79025000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41149035-0.41187384) × cos(0.23742199) × R
    0.000383489999999986 × 0.971947546101053 × 6371000     		do = 2374.67661973822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41149035-0.41187384) × cos(0.23704924) × R
    0.000383489999999986 × 0.97203514852682 × 6371000     		du = 2374.89065128049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23742199)-sin(0.23704924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971947546101053-0.97203514852682)×R²
    abs(0.41187384-0.41149035)×8.760242576622e-05×R²
    0.000383489999999986×8.760242576622e-05×6371000²
    0.000383489999999986×8.760242576622e-05×40589641000000     		ar = 5639613.08876592m²