Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9265 / 25705
↖ ↑ ↗
← S 70.991928°
W 78.211670°		 ← 397.87 m → S 70.991928°
W 78.200684°		 →
↑
397.87 m
↓
↑
397.87 m
↓
S 70.995506°
W 78.211670°		 ← 397.80 m →
158 285 m²		 S 70.995506°
W 78.200684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282760620117188 y=0.784469604492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282760620117188 × 215)
    floor (0.282760620117188 × 32768)
    floor (9265.5)     		tx = 9265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784469604492188 × 215)
    floor (0.784469604492188 × 32768)
    floor (25705.5)     		ty = 25705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9265 / 25705 ti = "15/9265/25705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9265/25705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9265 ÷ 215
    9265 ÷ 32768     		x = 0.282745361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25705 ÷ 215
    25705 ÷ 32768     		y = 0.784454345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282745361328125 × 2 - 1) × π
    -0.43450927734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.36505115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784454345703125 × 2 - 1) × π
    -0.56890869140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.78727936543417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36505115} λ = -1.36505115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78727936543417))-π/2
    2×atan(0.167415025743771)-π/2
    2×0.165876722089835-π/2
    0.33175344417967-1.57079632675     		φ = -1.23904288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36505115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.211670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23904288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.991928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9265 KachelY 25705 -1.36505115 -1.23904288 -78.211670 -70.991928
    Oben rechts KachelX + 1 9266 KachelY 25705 -1.36485941 -1.23904288 -78.200684 -70.991928
    Unten links KachelX 9265 KachelY + 1 25706 -1.36505115 -1.23910533 -78.211670 -70.995506
    Unten rechts KachelX + 1 9266 KachelY + 1 25706 -1.36485941 -1.23910533 -78.200684 -70.995506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23904288--1.23910533) × R
    6.24499999999362e-05 × 6371000     		dl = 397.868949999593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23904288--1.23910533) × R
    6.24499999999362e-05 × 6371000     		dr = 397.868949999593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36505115--1.36485941) × cos(-1.23904288) × R
    0.000191739999999996 × 0.325701364312653 × 6371000     		do = 397.868819988957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36505115--1.36485941) × cos(-1.23910533) × R
    0.000191739999999996 × 0.325642318907628 × 6371000     		du = 397.79669156643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23904288)-sin(-1.23910533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325701364312653-0.325642318907628)×R²
    abs(-1.36485941--1.36505115)×5.90454050242162e-05×R²
    0.000191739999999996×5.90454050242162e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.90454050242162e-05×40589641000000     		ar = 158285.300868194m²