Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9265 / 11311
↖ ↑ ↗
← S 56.353078°
E 23.576660°		 ← 1 353.72 m → S 56.353078°
E 23.598633°		 →
↑
1 353.52 m
↓
↑
1 353.52 m
↓
S 56.365250°
E 23.576660°		 ← 1 353.29 m →
1 831 994 m²		 S 56.365250°
E 23.598633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565521240234375 y=0.690399169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565521240234375 × 214)
    floor (0.565521240234375 × 16384)
    floor (9265.5)     		tx = 9265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690399169921875 × 214)
    floor (0.690399169921875 × 16384)
    floor (11311.5)     		ty = 11311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9265 / 11311 ti = "14/9265/11311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9265/11311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9265 ÷ 214
    9265 ÷ 16384     		x = 0.56549072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11311 ÷ 214
    11311 ÷ 16384     		y = 0.69036865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56549072265625 × 2 - 1) × π
    0.1309814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41149035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69036865234375 × 2 - 1) × π
    -0.3807373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.19612151931964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41149035} λ = 0.41149035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19612151931964))-π/2
    2×atan(0.302364656149609)-π/2
    2×0.293624789410029-π/2
    0.587249578820058-1.57079632675     		φ = -0.98354675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41149035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.576660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98354675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.353078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9265 KachelY 11311 0.41149035 -0.98354675 23.576660 -56.353078
    Oben rechts KachelX + 1 9266 KachelY 11311 0.41187384 -0.98354675 23.598633 -56.353078
    Unten links KachelX 9265 KachelY + 1 11312 0.41149035 -0.98375920 23.576660 -56.365250
    Unten rechts KachelX + 1 9266 KachelY + 1 11312 0.41187384 -0.98375920 23.598633 -56.365250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98354675--0.98375920) × R
    0.00021244999999992 × 6371000     		dl = 1353.51894999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98354675--0.98375920) × R
    0.00021244999999992 × 6371000     		dr = 1353.51894999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41149035-0.41187384) × cos(-0.98354675) × R
    0.000383489999999986 × 0.554073482882071 × 6371000     		do = 1353.72052812424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41149035-0.41187384) × cos(-0.98375920) × R
    0.000383489999999986 × 0.553896612603209 × 6371000     		du = 1353.28839604301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98354675)-sin(-0.98375920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554073482882071-0.553896612603209)×R²
    abs(0.41187384-0.41149035)×0.000176870278862151×R²
    0.000383489999999986×0.000176870278862151×6371000²
    0.000383489999999986×0.000176870278862151×40589641000000     		ar = 1831993.94522961m²