Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9265 / 11217
↖ ↑ ↗
← N 75.561672°
W129.105835°		 ← 152.29 m → N 75.561672°
W129.100342°		 →
↑
152.33 m
↓
↑
152.33 m
↓
N 75.560302°
W129.105835°		 ← 152.31 m →
23 200 m²		 N 75.560302°
W129.100342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141380310058594 y=0.171165466308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141380310058594 × 216)
    floor (0.141380310058594 × 65536)
    floor (9265.5)     		tx = 9265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171165466308594 × 216)
    floor (0.171165466308594 × 65536)
    floor (11217.5)     		ty = 11217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9265 / 11217 ti = "16/9265/11217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9265/11217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9265 ÷ 216
    9265 ÷ 65536     		x = 0.141372680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11217 ÷ 216
    11217 ÷ 65536     		y = 0.171157836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.141372680664062 × 2 - 1) × π
    -0.717254638671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25332190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171157836914062 × 2 - 1) × π
    0.657684326171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.06617624742366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25332190} λ = -2.25332190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06617624742366))-π/2
    2×atan(7.89457841601471)-π/2
    2×1.44479814286157-π/2
    2.88959628572314-1.57079632675     		φ = 1.31879996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25332190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.105835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31879996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.561672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9265 KachelY 11217 -2.25332190 1.31879996 -129.105835 75.561672
    Oben rechts KachelX + 1 9266 KachelY 11217 -2.25322603 1.31879996 -129.100342 75.561672
    Unten links KachelX 9265 KachelY + 1 11218 -2.25332190 1.31877605 -129.105835 75.560302
    Unten rechts KachelX + 1 9266 KachelY + 1 11218 -2.25322603 1.31877605 -129.100342 75.560302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31879996-1.31877605) × R
    2.39099999999048e-05 × 6371000     		dl = 152.330609999394m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31879996-1.31877605) × R
    2.39099999999048e-05 × 6371000     		dr = 152.330609999394m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25332190--2.25322603) × cos(1.31879996) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.249337769543885 × 6371000     		do = 152.29246023648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25332190--2.25322603) × cos(1.31877605) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.249360924313091 × 6371000     		du = 152.306602886328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31879996)-sin(1.31877605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249337769543885-0.249360924313091)×R²
    abs(-2.25322603--2.25332190)×2.31547692063627e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.31547692063627e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.31547692063627e-05×40589641000000     		ar = 23199.8805467063m²