Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9264 / 9777
↖ ↑ ↗
← S 32.861132°
E 23.554687°		 ← 2 052.32 m → S 32.861132°
E 23.576660°		 →
↑
2 052.10 m
↓
↑
2 052.10 m
↓
S 32.879587°
E 23.554687°		 ← 2 051.90 m →
4 211 136 m²		 S 32.879587°
E 23.576660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565460205078125 y=0.596771240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565460205078125 × 214)
    floor (0.565460205078125 × 16384)
    floor (9264.5)     		tx = 9264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596771240234375 × 214)
    floor (0.596771240234375 × 16384)
    floor (9777.5)     		ty = 9777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9264 / 9777 ti = "14/9264/9777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9264/9777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9264 ÷ 214
    9264 ÷ 16384     		x = 0.5654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9777 ÷ 214
    9777 ÷ 16384     		y = 0.59674072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5654296875 × 2 - 1) × π
    0.130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41110685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59674072265625 × 2 - 1) × π
    -0.1934814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.607839887182312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41110685} λ = 0.41110685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.607839887182312))-π/2
    2×atan(0.544525836825864)-π/2
    2×0.498630685921453-π/2
    0.997261371842907-1.57079632675     		φ = -0.57353495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41110685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57353495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.861132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9264 KachelY 9777 0.41110685 -0.57353495 23.554687 -32.861132
    Oben rechts KachelX + 1 9265 KachelY 9777 0.41149035 -0.57353495 23.576660 -32.861132
    Unten links KachelX 9264 KachelY + 1 9778 0.41110685 -0.57385705 23.554687 -32.879587
    Unten rechts KachelX + 1 9265 KachelY + 1 9778 0.41149035 -0.57385705 23.576660 -32.879587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57353495--0.57385705) × R
    0.000322099999999992 × 6371000     		dl = 2052.09909999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57353495--0.57385705) × R
    0.000322099999999992 × 6371000     		dr = 2052.09909999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41110685-0.41149035) × cos(-0.57353495) × R
    0.000383499999999981 × 0.839988146686666 × 6371000     		do = 2052.32497905428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41110685-0.41149035) × cos(-0.57385705) × R
    0.000383499999999981 × 0.839813330126381 × 6371000     		du = 2051.89785351109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57353495)-sin(-0.57385705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839988146686666-0.839813330126381)×R²
    abs(0.41149035-0.41110685)×0.000174816560285063×R²
    0.000383499999999981×0.000174816560285063×6371000²
    0.000383499999999981×0.000174816560285063×40589641000000     		ar = 4211136.02686167m²