Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 9264 / 11216
↖ ↑ ↗
← N 75.563041°
W129.111328°		 ← 152.29 m → N 75.563041°
W129.105835°		 →
↑
152.27 m
↓
↑
152.27 m
↓
N 75.561672°
W129.111328°		 ← 152.31 m →
23 190 m²		 N 75.561672°
W129.105835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141365051269531 y=0.171150207519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141365051269531 × 216)
    floor (0.141365051269531 × 65536)
    floor (9264.5)     		tx = 9264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171150207519531 × 216)
    floor (0.171150207519531 × 65536)
    floor (11216.5)     		ty = 11216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9264 / 11216 ti = "16/9264/11216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9264/11216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9264 ÷ 216
    9264 ÷ 65536     		x = 0.141357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11216 ÷ 216
    11216 ÷ 65536     		y = 0.171142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.141357421875 × 2 - 1) × π
    -0.71728515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.25341778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171142578125 × 2 - 1) × π
    0.65771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.0662721212229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25341778} λ = -2.25341778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0662721212229))-π/2
    2×atan(7.89533533552464)-π/2
    2×1.4448100947864-π/2
    2.8896201895728-1.57079632675     		φ = 1.31882386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25341778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.111328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31882386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.563041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9264 KachelY 11216 -2.25341778 1.31882386 -129.111328 75.563041
    Oben rechts KachelX + 1 9265 KachelY 11216 -2.25332190 1.31882386 -129.105835 75.563041
    Unten links KachelX 9264 KachelY + 1 11217 -2.25341778 1.31879996 -129.111328 75.561672
    Unten rechts KachelX + 1 9265 KachelY + 1 11217 -2.25332190 1.31879996 -129.105835 75.561672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31882386-1.31879996) × R
    2.38999999999656e-05 × 6371000     		dl = 152.266899999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31882386-1.31879996) × R
    2.38999999999656e-05 × 6371000     		dr = 152.266899999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25341778--2.25332190) × cos(1.31882386) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.24931462431636 × 6371000     		do = 152.294207249193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25341778--2.25332190) × cos(1.31879996) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.249337769543885 × 6371000     		du = 152.308345545681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31882386)-sin(1.31879996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24931462431636-0.249337769543885)×R²
    abs(-2.25332190--2.25341778)×2.31452275244459e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.31452275244459e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.31452275244459e-05×40589641000000     		ar = 23190.4432240677m²