Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9262 / 11308
↖ ↑ ↗
← S 56.316537°
E 23.510742°		 ← 1 355.05 m → S 56.316537°
E 23.532715°		 →
↑
1 354.79 m
↓
↑
1 354.79 m
↓
S 56.328721°
E 23.510742°		 ← 1 354.62 m →
1 835 523 m²		 S 56.328721°
E 23.532715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565338134765625 y=0.690216064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565338134765625 × 214)
    floor (0.565338134765625 × 16384)
    floor (9262.5)     		tx = 9262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690216064453125 × 214)
    floor (0.690216064453125 × 16384)
    floor (11308.5)     		ty = 11308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9262 / 11308 ti = "14/9262/11308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9262/11308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9262 ÷ 214
    9262 ÷ 16384     		x = 0.5653076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11308 ÷ 214
    11308 ÷ 16384     		y = 0.690185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5653076171875 × 2 - 1) × π
    0.130615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41033986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690185546875 × 2 - 1) × π
    -0.38037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19497103372876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41033986} λ = 0.41033986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19497103372876))-π/2
    2×atan(0.302712722513978)-π/2
    2×0.293943668846336-π/2
    0.587887337692672-1.57079632675     		φ = -0.98290899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41033986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.510742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98290899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.316537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9262 KachelY 11308 0.41033986 -0.98290899 23.510742 -56.316537
    Oben rechts KachelX + 1 9263 KachelY 11308 0.41072336 -0.98290899 23.532715 -56.316537
    Unten links KachelX 9262 KachelY + 1 11309 0.41033986 -0.98312164 23.510742 -56.328721
    Unten rechts KachelX + 1 9263 KachelY + 1 11309 0.41072336 -0.98312164 23.532715 -56.328721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98290899--0.98312164) × R
    0.000212650000000036 × 6371000     		dl = 1354.79315000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98290899--0.98312164) × R
    0.000212650000000036 × 6371000     		dr = 1354.79315000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41033986-0.41072336) × cos(-0.98290899) × R
    0.000383499999999981 × 0.554604284804963 × 6371000     		do = 1355.05272507178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41033986-0.41072336) × cos(-0.98312164) × R
    0.000383499999999981 × 0.554427323176252 × 6371000     		du = 1354.62035852902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98290899)-sin(-0.98312164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554604284804963-0.554427323176252)×R²
    abs(0.41072336-0.41033986)×0.000176961628710948×R²
    0.000383499999999981×0.000176961628710948×6371000²
    0.000383499999999981×0.000176961628710948×40589641000000     		ar = 1835523.27311827m²