Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9261 / 7597
↖ ↑ ↗
← N 12.961736°
E 23.488770°		 ← 2 380.96 m → N 12.961736°
E 23.510742°		 →
↑
2 381.10 m
↓
↑
2 381.10 m
↓
N 12.940322°
E 23.488770°		 ← 2 381.17 m →
5 669 546 m²		 N 12.940322°
E 23.510742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565277099609375 y=0.463714599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565277099609375 × 214)
    floor (0.565277099609375 × 16384)
    floor (9261.5)     		tx = 9261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463714599609375 × 214)
    floor (0.463714599609375 × 16384)
    floor (7597.5)     		ty = 7597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9261 / 7597 ti = "14/9261/7597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9261/7597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9261 ÷ 214
    9261 ÷ 16384     		x = 0.56524658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7597 ÷ 214
    7597 ÷ 16384     		y = 0.46368408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56524658203125 × 2 - 1) × π
    0.1304931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40995637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46368408203125 × 2 - 1) × π
    0.0726318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.228179642191467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40995637} λ = 0.40995637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.228179642191467))-π/2
    2×atan(1.25631099162185)-π/2
    2×0.89851064701599-π/2
    1.79702129403198-1.57079632675     		φ = 0.22622497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40995637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.488770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22622497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.961736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9261 KachelY 7597 0.40995637 0.22622497 23.488770 12.961736
    Oben rechts KachelX + 1 9262 KachelY 7597 0.41033986 0.22622497 23.510742 12.961736
    Unten links KachelX 9261 KachelY + 1 7598 0.40995637 0.22585123 23.488770 12.940322
    Unten rechts KachelX + 1 9262 KachelY + 1 7598 0.41033986 0.22585123 23.510742 12.940322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22622497-0.22585123) × R
    0.000373740000000011 × 6371000     		dl = 2381.09754000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22622497-0.22585123) × R
    0.000373740000000011 × 6371000     		dr = 2381.09754000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40995637-0.41033986) × cos(0.22622497) × R
    0.000383489999999986 × 0.974520077172584 × 6371000     		do = 2380.96186569991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40995637-0.41033986) × cos(0.22585123) × R
    0.000383489999999986 × 0.974603839099006 × 6371000     		du = 2381.16651407739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22622497)-sin(0.22585123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974520077172584-0.974603839099006)×R²
    abs(0.41033986-0.40995637)×8.37619264227873e-05×R²
    0.000383489999999986×8.37619264227873e-05×6371000²
    0.000383489999999986×8.37619264227873e-05×40589641000000     		ar = 5669546.1511204m²