Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9260 / 7015
↖ ↑ ↗
← N 25.025884°
E 23.466797°		 ← 2 213.90 m → N 25.025884°
E 23.488770°		 →
↑
2 214.05 m
↓
↑
2 214.05 m
↓
N 25.005973°
E 23.466797°		 ← 2 214.25 m →
4 902 073 m²		 N 25.005973°
E 23.488770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565216064453125 y=0.428192138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565216064453125 × 214)
    floor (0.565216064453125 × 16384)
    floor (9260.5)     		tx = 9260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428192138671875 × 214)
    floor (0.428192138671875 × 16384)
    floor (7015.5)     		ty = 7015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9260 / 7015 ti = "14/9260/7015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9260/7015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9260 ÷ 214
    9260 ÷ 16384     		x = 0.565185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7015 ÷ 214
    7015 ÷ 16384     		y = 0.42816162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565185546875 × 2 - 1) × π
    0.13037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40957287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42816162109375 × 2 - 1) × π
    0.1436767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.451373846822449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40957287} λ = 0.40957287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.451373846822449))-π/2
    2×atan(1.57046828694025)-π/2
    2×1.0037902009546-π/2
    2.00758040190921-1.57079632675     		φ = 0.43678408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40957287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.466797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43678408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.025884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9260 KachelY 7015 0.40957287 0.43678408 23.466797 25.025884
    Oben rechts KachelX + 1 9261 KachelY 7015 0.40995637 0.43678408 23.488770 25.025884
    Unten links KachelX 9260 KachelY + 1 7016 0.40957287 0.43643656 23.466797 25.005973
    Unten rechts KachelX + 1 9261 KachelY + 1 7016 0.40995637 0.43643656 23.488770 25.005973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43678408-0.43643656) × R
    0.000347520000000046 × 6371000     		dl = 2214.04992000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43678408-0.43643656) × R
    0.000347520000000046 × 6371000     		dr = 2214.04992000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40957287-0.40995637) × cos(0.43678408) × R
    0.000383500000000037 × 0.906116769572565 × 6371000     		do = 2213.89562158631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40957287-0.40995637) × cos(0.43643656) × R
    0.000383500000000037 × 0.906263725425577 × 6371000     		du = 2214.25467566243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43678408)-sin(0.43643656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906116769572565-0.906263725425577)×R²
    abs(0.40995637-0.40957287)×0.000146955853011943×R²
    0.000383500000000037×0.000146955853011943×6371000²
    0.000383500000000037×0.000146955853011943×40589641000000     		ar = 4902072.95502183m²