Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 926 / 926
↖ ↑ ↗
← S 80.983688°
E145.546875°		 ← 6 126.33 m → S 80.983688°
E145.898438°		 →
↑
6 107.81 m
↓
↑
6 107.81 m
↓
S 81.038617°
E145.546875°		 ← 6 089.31 m →
37 305 439 m²		 S 81.038617°
E145.898438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90478515625 y=0.90478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90478515625 × 210)
    floor (0.90478515625 × 1024)
    floor (926.5)     		tx = 926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90478515625 × 210)
    floor (0.90478515625 × 1024)
    floor (926.5)     		ty = 926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 926 / 926 ti = "10/926/926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/926/926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 926 ÷ 210
    926 ÷ 1024     		x = 0.904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 926 ÷ 210
    926 ÷ 1024     		y = 0.904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904296875 × 2 - 1) × π
    0.80859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54027218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904296875 × 2 - 1) × π
    -0.80859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54027218466602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54027218} λ = 2.54027218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54027218466602))-π/2
    2×atan(0.0788449364871116)-π/2
    2×0.0786821627091556-π/2
    0.157364325418311-1.57079632675     		φ = -1.41343200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54027218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41343200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.983688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 926 KachelY 926 2.54027218 -1.41343200 145.546875 -80.983688
    Oben rechts KachelX + 1 927 KachelY 926 2.54640811 -1.41343200 145.898438 -80.983688
    Unten links KachelX 926 KachelY + 1 927 2.54027218 -1.41439069 145.546875 -81.038617
    Unten rechts KachelX + 1 927 KachelY + 1 927 2.54640811 -1.41439069 145.898438 -81.038617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41343200--1.41439069) × R
    0.00095869000000004 × 6371000     		dl = 6107.81399000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41343200--1.41439069) × R
    0.00095869000000004 × 6371000     		dr = 6107.81399000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54027218-2.54640811) × cos(-1.41343200) × R
    0.00613592999999968 × 0.156715647755291 × 6371000     		do = 6126.32967390748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54027218-2.54640811) × cos(-1.41439069) × R
    0.00613592999999968 × 0.155768731682034 × 6371000     		du = 6089.31282127413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41343200)-sin(-1.41439069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156715647755291-0.155768731682034)×R²
    abs(2.54640811-2.54027218)×0.000946916073257392×R²
    0.00613592999999968×0.000946916073257392×6371000²
    0.00613592999999968×0.000946916073257392×40589641000000     		ar = 37305438.9217171m²