Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 926 / 924
↖ ↑ ↗
← N 69.778952°
W 98.613281°		 ← 3 377.96 m → N 69.778952°
W 98.525390°		 →
↑
3 380.39 m
↓
↑
3 380.39 m
↓
N 69.748551°
W 98.613281°		 ← 3 382.83 m →
11 427 055 m²		 N 69.748551°
W 98.525390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2261962890625 y=0.2257080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2261962890625 × 212)
    floor (0.2261962890625 × 4096)
    floor (926.5)     		tx = 926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2257080078125 × 212)
    floor (0.2257080078125 × 4096)
    floor (924.5)     		ty = 924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 926 / 924 ti = "12/926/924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/926/924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 926 ÷ 212
    926 ÷ 4096     		x = 0.22607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 924 ÷ 212
    924 ÷ 4096     		y = 0.2255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22607421875 × 2 - 1) × π
    -0.5478515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.72112644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2255859375 × 2 - 1) × π
    0.548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72419440553418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72112644} λ = -1.72112644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72419440553418))-π/2
    2×atan(5.60800143453719)-π/2
    2×1.39433439193378-π/2
    2.78866878386757-1.57079632675     		φ = 1.21787246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72112644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.613281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21787246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.778952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 926 KachelY 924 -1.72112644 1.21787246 -98.613281 69.778952
    Oben rechts KachelX + 1 927 KachelY 924 -1.71959246 1.21787246 -98.525390 69.778952
    Unten links KachelX 926 KachelY + 1 925 -1.72112644 1.21734187 -98.613281 69.748551
    Unten rechts KachelX + 1 927 KachelY + 1 925 -1.71959246 1.21734187 -98.525390 69.748551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21787246-1.21734187) × R
    0.000530589999999886 × 6371000     		dl = 3380.38888999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21787246-1.21734187) × R
    0.000530589999999886 × 6371000     		dr = 3380.38888999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72112644--1.71959246) × cos(1.21787246) × R
    0.00153397999999982 × 0.345642938510007 × 6371000     		do = 3377.96379952968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72112644--1.71959246) × cos(1.21734187) × R
    0.00153397999999982 × 0.346140777508011 × 6371000     		du = 3382.82917337617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21787246)-sin(1.21734187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345642938510007-0.346140777508011)×R²
    abs(-1.71959246--1.72112644)×0.000497838998003652×R²
    0.00153397999999982×0.000497838998003652×6371000²
    0.00153397999999982×0.000497838998003652×40589641000000     		ar = 11427054.9946817m²