Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 926 / 523
↖ ↑ ↗
← N 65.730626°
W 17.226562°		 ← 8 033.93 m → N 65.730626°
W 17.050781°		 →
↑
8 045.17 m
↓
↑
8 045.17 m
↓
N 65.658274°
W 17.226562°		 ← 8 056.42 m →
64 724 800 m²		 N 65.658274°
W 17.050781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452392578125 y=0.255615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452392578125 × 211)
    floor (0.452392578125 × 2048)
    floor (926.5)     		tx = 926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255615234375 × 211)
    floor (0.255615234375 × 2048)
    floor (523.5)     		ty = 523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 926 / 523 ti = "11/926/523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/926/523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 926 ÷ 211
    926 ÷ 2048     		x = 0.4521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 523 ÷ 211
    523 ÷ 2048     		y = 0.25537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4521484375 × 2 - 1) × π
    -0.095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30066023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25537109375 × 2 - 1) × π
    0.4892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.53704874941748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30066023} λ = -0.30066023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53704874941748))-π/2
    2×atan(4.65084419027524)-π/2
    2×1.35900608924011-π/2
    2.71801217848023-1.57079632675     		φ = 1.14721585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30066023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.226562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14721585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.730626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 926 KachelY 523 -0.30066023 1.14721585 -17.226562 65.730626
    Oben rechts KachelX + 1 927 KachelY 523 -0.29759227 1.14721585 -17.050781 65.730626
    Unten links KachelX 926 KachelY + 1 524 -0.30066023 1.14595307 -17.226562 65.658274
    Unten rechts KachelX + 1 927 KachelY + 1 524 -0.29759227 1.14595307 -17.050781 65.658274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14721585-1.14595307) × R
    0.00126278000000002 × 6371000     		dl = 8045.17138000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14721585-1.14595307) × R
    0.00126278000000002 × 6371000     		dr = 8045.17138000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30066023--0.29759227) × cos(1.14721585) × R
    0.00306795999999998 × 0.411027126132944 × 6371000     		do = 8033.9251754264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30066023--0.29759227) × cos(1.14595307) × R
    0.00306795999999998 × 0.412177977547995 × 6371000     		du = 8056.41968629615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14721585)-sin(1.14595307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411027126132944-0.412177977547995)×R²
    abs(-0.29759227--0.30066023)×0.00115085141505161×R²
    0.00306795999999998×0.00115085141505161×6371000²
    0.00306795999999998×0.00115085141505161×40589641000000     		ar = 64724799.5888467m²