Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9259 / 9790
↖ ↑ ↗
← S 33.100745°
E 23.444824°		 ← 2 046.71 m → S 33.100745°
E 23.466797°		 →
↑
2 046.56 m
↓
↑
2 046.56 m
↓
S 33.119150°
E 23.444824°		 ← 2 046.28 m →
4 188 267 m²		 S 33.119150°
E 23.466797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565155029296875 y=0.597564697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565155029296875 × 214)
    floor (0.565155029296875 × 16384)
    floor (9259.5)     		tx = 9259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597564697265625 × 214)
    floor (0.597564697265625 × 16384)
    floor (9790.5)     		ty = 9790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9259 / 9790 ti = "14/9259/9790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9259/9790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9259 ÷ 214
    9259 ÷ 16384     		x = 0.56512451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9790 ÷ 214
    9790 ÷ 16384     		y = 0.5975341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56512451171875 × 2 - 1) × π
    0.1302490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40918938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5975341796875 × 2 - 1) × π
    -0.195068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.612825324742798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40918938} λ = 0.40918938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.612825324742798))-π/2
    2×atan(0.541817893017418)-π/2
    2×0.496539667312709-π/2
    0.993079334625418-1.57079632675     		φ = -0.57771699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40918938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.444824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57771699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.100745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9259 KachelY 9790 0.40918938 -0.57771699 23.444824 -33.100745
    Oben rechts KachelX + 1 9260 KachelY 9790 0.40957287 -0.57771699 23.466797 -33.100745
    Unten links KachelX 9259 KachelY + 1 9791 0.40918938 -0.57803822 23.444824 -33.119150
    Unten rechts KachelX + 1 9260 KachelY + 1 9791 0.40957287 -0.57803822 23.466797 -33.119150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57771699--0.57803822) × R
    0.000321230000000061 × 6371000     		dl = 2046.55633000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57771699--0.57803822) × R
    0.000321230000000061 × 6371000     		dr = 2046.55633000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40918938-0.40957287) × cos(-0.57771699) × R
    0.000383489999999986 × 0.837711613079229 × 6371000     		do = 2046.70940282986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40918938-0.40957287) × cos(-0.57803822) × R
    0.000383489999999986 × 0.837536142027786 × 6371000     		du = 2046.28068936175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57771699)-sin(-0.57803822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837711613079229-0.837536142027786)×R²
    abs(0.40957287-0.40918938)×0.000175471051443443×R²
    0.000383489999999986×0.000175471051443443×6371000²
    0.000383489999999986×0.000175471051443443×40589641000000     		ar = 4188267.4269176m²