Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9259 / 7585
↖ ↑ ↗
← N 13.218556°
E 23.444824°		 ← 2 378.48 m → N 13.218556°
E 23.466797°		 →
↑
2 378.61 m
↓
↑
2 378.61 m
↓
N 13.197164°
E 23.444824°		 ← 2 378.69 m →
5 657 735 m²		 N 13.197164°
E 23.466797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565155029296875 y=0.462982177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565155029296875 × 214)
    floor (0.565155029296875 × 16384)
    floor (9259.5)     		tx = 9259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462982177734375 × 214)
    floor (0.462982177734375 × 16384)
    floor (7585.5)     		ty = 7585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9259 / 7585 ti = "14/9259/7585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9259/7585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9259 ÷ 214
    9259 ÷ 16384     		x = 0.56512451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7585 ÷ 214
    7585 ÷ 16384     		y = 0.46295166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56512451171875 × 2 - 1) × π
    0.1302490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40918938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46295166015625 × 2 - 1) × π
    0.0740966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.232781584554993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40918938} λ = 0.40918938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.232781584554993))-π/2
    2×atan(1.26210578582364)-π/2
    2×0.900751825230308-π/2
    1.80150365046062-1.57079632675     		φ = 0.23070732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40918938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.444824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23070732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.218556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9259 KachelY 7585 0.40918938 0.23070732 23.444824 13.218556
    Oben rechts KachelX + 1 9260 KachelY 7585 0.40957287 0.23070732 23.466797 13.218556
    Unten links KachelX 9259 KachelY + 1 7586 0.40918938 0.23033397 23.444824 13.197164
    Unten rechts KachelX + 1 9260 KachelY + 1 7586 0.40957287 0.23033397 23.466797 13.197164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23070732-0.23033397) × R
    0.000373349999999995 × 6371000     		dl = 2378.61284999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23070732-0.23033397) × R
    0.000373349999999995 × 6371000     		dr = 2378.61284999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40918938-0.40957287) × cos(0.23070732) × R
    0.000383489999999986 × 0.973504898393465 × 6371000     		do = 2378.48156589228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40918938-0.40957287) × cos(0.23033397) × R
    0.000383489999999986 × 0.973590203053847 × 6371000     		du = 2378.68998350018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23070732)-sin(0.23033397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973504898393465-0.973590203053847)×R²
    abs(0.40957287-0.40918938)×8.53046603822571e-05×R²
    0.000383489999999986×8.53046603822571e-05×6371000²
    0.000383489999999986×8.53046603822571e-05×40589641000000     		ar = 5657734.75423893m²