Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9258 / 7080
↖ ↑ ↗
← N 23.725012°
E 23.422852°		 ← 2 236.79 m → N 23.725012°
E 23.444824°		 →
↑
2 236.92 m
↓
↑
2 236.92 m
↓
N 23.704895°
E 23.422852°		 ← 2 237.13 m →
5 003 910 m²		 N 23.704895°
E 23.444824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565093994140625 y=0.432159423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565093994140625 × 214)
    floor (0.565093994140625 × 16384)
    floor (9258.5)     		tx = 9258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432159423828125 × 214)
    floor (0.432159423828125 × 16384)
    floor (7080.5)     		ty = 7080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9258 / 7080 ti = "14/9258/7080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9258/7080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9258 ÷ 214
    9258 ÷ 16384     		x = 0.5650634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7080 ÷ 214
    7080 ÷ 16384     		y = 0.43212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5650634765625 × 2 - 1) × π
    0.130126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40880588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43212890625 × 2 - 1) × π
    0.1357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.42644665902002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40880588} λ = 0.40880588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.42644665902002))-π/2
    2×atan(1.53180481679352)-π/2
    2×0.992437948325196-π/2
    1.98487589665039-1.57079632675     		φ = 0.41407957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40880588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.422852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41407957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.725012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9258 KachelY 7080 0.40880588 0.41407957 23.422852 23.725012
    Oben rechts KachelX + 1 9259 KachelY 7080 0.40918938 0.41407957 23.444824 23.725012
    Unten links KachelX 9258 KachelY + 1 7081 0.40880588 0.41372846 23.422852 23.704895
    Unten rechts KachelX + 1 9259 KachelY + 1 7081 0.40918938 0.41372846 23.444824 23.704895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41407957-0.41372846) × R
    0.000351109999999988 × 6371000     		dl = 2236.92180999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41407957-0.41372846) × R
    0.000351109999999988 × 6371000     		dr = 2236.92180999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40880588-0.40918938) × cos(0.41407957) × R
    0.000383499999999981 × 0.915487040910553 × 6371000     		do = 2236.78980408526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40880588-0.40918938) × cos(0.41372846) × R
    0.000383499999999981 × 0.915628252694238 × 6371000     		du = 2237.13482380029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41407957)-sin(0.41372846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915487040910553-0.915628252694238)×R²
    abs(0.40918938-0.40880588)×0.000141211783685868×R²
    0.000383499999999981×0.000141211783685868×6371000²
    0.000383499999999981×0.000141211783685868×40589641000000     		ar = 5003909.83961208m²