Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9258 / 11302
↖ ↑ ↗
← S 56.243350°
E 23.422852°		 ← 1 357.65 m → S 56.243350°
E 23.444824°		 →
↑
1 357.41 m
↓
↑
1 357.41 m
↓
S 56.255557°
E 23.422852°		 ← 1 357.22 m →
1 842 586 m²		 S 56.255557°
E 23.444824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565093994140625 y=0.689849853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565093994140625 × 214)
    floor (0.565093994140625 × 16384)
    floor (9258.5)     		tx = 9258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689849853515625 × 214)
    floor (0.689849853515625 × 16384)
    floor (11302.5)     		ty = 11302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9258 / 11302 ti = "14/9258/11302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9258/11302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9258 ÷ 214
    9258 ÷ 16384     		x = 0.5650634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11302 ÷ 214
    11302 ÷ 16384     		y = 0.6898193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5650634765625 × 2 - 1) × π
    0.130126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40880588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6898193359375 × 2 - 1) × π
    -0.379638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.192670062547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40880588} λ = 0.40880588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.192670062547))-π/2
    2×atan(0.303410057731286)-π/2
    2×0.29458234414345-π/2
    0.589164688286899-1.57079632675     		φ = -0.98163164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40880588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.422852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98163164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.243350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9258 KachelY 11302 0.40880588 -0.98163164 23.422852 -56.243350
    Oben rechts KachelX + 1 9259 KachelY 11302 0.40918938 -0.98163164 23.444824 -56.243350
    Unten links KachelX 9258 KachelY + 1 11303 0.40880588 -0.98184470 23.422852 -56.255557
    Unten rechts KachelX + 1 9259 KachelY + 1 11303 0.40918938 -0.98184470 23.444824 -56.255557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98163164--0.98184470) × R
    0.000213059999999987 × 6371000     		dl = 1357.40525999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98163164--0.98184470) × R
    0.000213059999999987 × 6371000     		dr = 1357.40525999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40880588-0.40918938) × cos(-0.98163164) × R
    0.000383499999999981 × 0.555666733171665 × 6371000     		do = 1357.6485823235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40880588-0.40918938) × cos(-0.98184470) × R
    0.000383499999999981 × 0.555489581384978 × 6371000     		du = 1357.21575117185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98163164)-sin(-0.98184470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555666733171665-0.555489581384978)×R²
    abs(0.40918938-0.40880588)×0.000177151786687202×R²
    0.000383499999999981×0.000177151786687202×6371000²
    0.000383499999999981×0.000177151786687202×40589641000000     		ar = 1842585.57020657m²