Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9257 / 11369
↖ ↑ ↗
← N 75.352009°
W129.149780°		 ← 154.46 m → N 75.352009°
W129.144287°		 →
↑
154.43 m
↓
↑
154.43 m
↓
N 75.350620°
W129.149780°		 ← 154.47 m →
23 854 m²		 N 75.350620°
W129.144287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141258239746094 y=0.173484802246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141258239746094 × 216)
    floor (0.141258239746094 × 65536)
    floor (9257.5)     		tx = 9257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173484802246094 × 216)
    floor (0.173484802246094 × 65536)
    floor (11369.5)     		ty = 11369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9257 / 11369 ti = "16/9257/11369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9257/11369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9257 ÷ 216
    9257 ÷ 65536     		x = 0.141250610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11369 ÷ 216
    11369 ÷ 65536     		y = 0.173477172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.141250610351562 × 2 - 1) × π
    -0.717498779296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25408889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173477172851562 × 2 - 1) × π
    0.653045654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.05160342993916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25408889} λ = -2.25408889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05160342993916))-π/2
    2×atan(7.78036638243288)-π/2
    2×1.44296848981478-π/2
    2.88593697962957-1.57079632675     		φ = 1.31514065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25408889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.149780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31514065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.352009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9257 KachelY 11369 -2.25408889 1.31514065 -129.149780 75.352009
    Oben rechts KachelX + 1 9258 KachelY 11369 -2.25399302 1.31514065 -129.144287 75.352009
    Unten links KachelX 9257 KachelY + 1 11370 -2.25408889 1.31511641 -129.149780 75.350620
    Unten rechts KachelX + 1 9258 KachelY + 1 11370 -2.25399302 1.31511641 -129.144287 75.350620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31514065-1.31511641) × R
    2.42400000001197e-05 × 6371000     		dl = 154.433040000763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31514065-1.31511641) × R
    2.42400000001197e-05 × 6371000     		dr = 154.433040000763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25408889--2.25399302) × cos(1.31514065) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.252879828735503 × 6371000     		do = 154.455906671337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25408889--2.25399302) × cos(1.31511641) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.252903280805365 × 6371000     		du = 154.470230908789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31514065)-sin(1.31511641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252879828735503-0.252903280805365)×R²
    abs(-2.25399302--2.25408889)×2.34520698612628e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.34520698612628e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.34520698612628e-05×40589641000000     		ar = 23854.2012824979m²