Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 9257 / 11270
↖ ↑ ↗
← N 75.488901°
W129.149780°		 ← 153.04 m → N 75.488901°
W129.144287°		 →
↑
153.03 m
↓
↑
153.03 m
↓
N 75.487525°
W129.149780°		 ← 153.06 m →
23 422 m²		 N 75.487525°
W129.144287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141258239746094 y=0.171974182128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141258239746094 × 216)
    floor (0.141258239746094 × 65536)
    floor (9257.5)     		tx = 9257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171974182128906 × 216)
    floor (0.171974182128906 × 65536)
    floor (11270.5)     		ty = 11270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9257 / 11270 ti = "16/9257/11270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9257/11270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9257 ÷ 216
    9257 ÷ 65536     		x = 0.141250610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11270 ÷ 216
    11270 ÷ 65536     		y = 0.171966552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.141250610351562 × 2 - 1) × π
    -0.717498779296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25408889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171966552734375 × 2 - 1) × π
    0.65606689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06109493606393
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25408889} λ = -2.25408889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06109493606393))-π/2
    2×atan(7.85456535054504)-π/2
    2×1.44416310042335-π/2
    2.8883262008467-1.57079632675     		φ = 1.31752987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25408889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.149780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31752987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.488901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9257 KachelY 11270 -2.25408889 1.31752987 -129.149780 75.488901
    Oben rechts KachelX + 1 9258 KachelY 11270 -2.25399302 1.31752987 -129.144287 75.488901
    Unten links KachelX 9257 KachelY + 1 11271 -2.25408889 1.31750585 -129.149780 75.487525
    Unten rechts KachelX + 1 9258 KachelY + 1 11271 -2.25399302 1.31750585 -129.144287 75.487525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31752987-1.31750585) × R
    2.40199999999025e-05 × 6371000     		dl = 153.031419999379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31752987-1.31750585) × R
    2.40199999999025e-05 × 6371000     		dr = 153.031419999379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25408889--2.25399302) × cos(1.31752987) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.250567544323168 × 6371000     		do = 153.043591631521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25408889--2.25399302) × cos(1.31750585) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.250590797991739 × 6371000     		du = 153.057794687891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31752987)-sin(1.31750585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250567544323168-0.250590797991739)×R²
    abs(-2.25399302--2.25408889)×2.32536685711993e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.32536685711993e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.32536685711993e-05×40589641000000     		ar = 23421.5649073603m²