Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9256 / 11367
↖ ↑ ↗
← N 75.354787°
W129.155274°		 ← 154.44 m → N 75.354787°
W129.149780°		 →
↑
154.43 m
↓
↑
154.43 m
↓
N 75.353398°
W129.155274°		 ← 154.46 m →
23 852 m²		 N 75.353398°
W129.149780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141242980957031 y=0.173454284667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141242980957031 × 216)
    floor (0.141242980957031 × 65536)
    floor (9256.5)     		tx = 9256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173454284667969 × 216)
    floor (0.173454284667969 × 65536)
    floor (11367.5)     		ty = 11367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9256 / 11367 ti = "16/9256/11367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9256/11367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9256 ÷ 216
    9256 ÷ 65536     		x = 0.1412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11367 ÷ 216
    11367 ÷ 65536     		y = 0.173446655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.717529296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25418477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173446655273438 × 2 - 1) × π
    0.653106689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.05179517753764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25418477} λ = -2.25418477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05179517753764))-π/2
    2×atan(7.78185839204207)-π/2
    2×1.44299273211571-π/2
    2.88598546423143-1.57079632675     		φ = 1.31518914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25418477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.155274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31518914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.354787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9256 KachelY 11367 -2.25418477 1.31518914 -129.155274 75.354787
    Oben rechts KachelX + 1 9257 KachelY 11367 -2.25408889 1.31518914 -129.149780 75.354787
    Unten links KachelX 9256 KachelY + 1 11368 -2.25418477 1.31516490 -129.155274 75.353398
    Unten rechts KachelX + 1 9257 KachelY + 1 11368 -2.25408889 1.31516490 -129.149780 75.353398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31518914-1.31516490) × R
    2.42399999998977e-05 × 6371000     		dl = 154.433039999348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31518914-1.31516490) × R
    2.42399999998977e-05 × 6371000     		dr = 154.433039999348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25418477--2.25408889) × cos(1.31518914) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.252832914474936 × 6371000     		do = 154.443360000342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25418477--2.25408889) × cos(1.31516490) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.252856366842017 × 6371000     		du = 154.457685913483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31518914)-sin(1.31516490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252832914474936-0.252856366842017)×R²
    abs(-2.25408889--2.25418477)×2.34523670816222e-05×R²
    9.58800000003812e-05×2.34523670816222e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×2.34523670816222e-05×40589641000000     		ar = 23852.2637907591m²