Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9255 / 7590
↖ ↑ ↗
← N 13.111580°
E 23.356933°		 ← 2 379.58 m → N 13.111580°
E 23.378906°		 →
↑
2 379.63 m
↓
↑
2 379.63 m
↓
N 13.090179°
E 23.356933°		 ← 2 379.79 m →
5 662 778 m²		 N 13.090179°
E 23.378906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564910888671875 y=0.463287353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564910888671875 × 214)
    floor (0.564910888671875 × 16384)
    floor (9255.5)     		tx = 9255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463287353515625 × 214)
    floor (0.463287353515625 × 16384)
    floor (7590.5)     		ty = 7590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9255 / 7590 ti = "14/9255/7590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9255/7590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9255 ÷ 214
    9255 ÷ 16384     		x = 0.56488037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7590 ÷ 214
    7590 ÷ 16384     		y = 0.4632568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56488037109375 × 2 - 1) × π
    0.1297607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40765539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4632568359375 × 2 - 1) × π
    0.073486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.23086410857019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40765539} λ = 0.40765539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.23086410857019))-π/2
    2×atan(1.25968804700788)-π/2
    2×0.899818284995494-π/2
    1.79963656999099-1.57079632675     		φ = 0.22884024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40765539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.356933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22884024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.111580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9255 KachelY 7590 0.40765539 0.22884024 23.356933 13.111580
    Oben rechts KachelX + 1 9256 KachelY 7590 0.40803889 0.22884024 23.378906 13.111580
    Unten links KachelX 9255 KachelY + 1 7591 0.40765539 0.22846673 23.356933 13.090179
    Unten rechts KachelX + 1 9256 KachelY + 1 7591 0.40803889 0.22846673 23.378906 13.090179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22884024-0.22846673) × R
    0.000373509999999994 × 6371000     		dl = 2379.63220999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22884024-0.22846673) × R
    0.000373509999999994 × 6371000     		dr = 2379.63220999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40765539-0.40803889) × cos(0.22884024) × R
    0.000383499999999981 × 0.973930139347162 × 6371000     		do = 2379.58256996881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40765539-0.40803889) × cos(0.22846673) × R
    0.000383499999999981 × 0.974014801461761 × 6371000     		du = 2379.78942309317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22884024)-sin(0.22846673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973930139347162-0.974014801461761)×R²
    abs(0.40803889-0.40765539)×8.4662114598788e-05×R²
    0.000383499999999981×8.4662114598788e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.4662114598788e-05×40589641000000     		ar = 5662777.51286554m²