Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9255 / 17207
↖ ↑ ↗
← S  9.004452°
W 78.321533°		 ← 1 206.58 m → S  9.004452°
W 78.310547°		 →
↑
1 206.54 m
↓
↑
1 206.54 m
↓
S  9.015302°
W 78.321533°		 ← 1 206.55 m →
1 455 770 m²		 S  9.015302°
W 78.310547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282455444335938 y=0.525131225585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282455444335938 × 215)
    floor (0.282455444335938 × 32768)
    floor (9255.5)     		tx = 9255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525131225585938 × 215)
    floor (0.525131225585938 × 32768)
    floor (17207.5)     		ty = 17207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9255 / 17207 ti = "15/9255/17207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9255/17207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9255 ÷ 215
    9255 ÷ 32768     		x = 0.282440185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17207 ÷ 215
    17207 ÷ 32768     		y = 0.525115966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282440185546875 × 2 - 1) × π
    -0.43511962890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.36696863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525115966796875 × 2 - 1) × π
    -0.05023193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.157808273549225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36696863} λ = -1.36696863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.157808273549225))-π/2
    2×atan(0.854013503251022)-π/2
    2×0.706819499855914-π/2
    1.41363899971183-1.57079632675     		φ = -0.15715733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36696863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.321533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15715733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.004452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9255 KachelY 17207 -1.36696863 -0.15715733 -78.321533 -9.004452
    Oben rechts KachelX + 1 9256 KachelY 17207 -1.36677688 -0.15715733 -78.310547 -9.004452
    Unten links KachelX 9255 KachelY + 1 17208 -1.36696863 -0.15734671 -78.321533 -9.015302
    Unten rechts KachelX + 1 9256 KachelY + 1 17208 -1.36677688 -0.15734671 -78.310547 -9.015302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15715733--0.15734671) × R
    0.000189379999999989 × 6371000     		dl = 1206.53997999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15715733--0.15734671) × R
    0.000189379999999989 × 6371000     		dr = 1206.53997999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36696863--1.36677688) × cos(-0.15715733) × R
    0.000191749999999935 × 0.987676183075106 × 6371000     		do = 1206.58399153433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36696863--1.36677688) × cos(-0.15734671) × R
    0.000191749999999935 × 0.987646525271826 × 6371000     		du = 1206.54776039777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15715733)-sin(-0.15734671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987676183075106-0.987646525271826)×R²
    abs(-1.36677688--1.36696863)×2.96578032802364e-05×R²
    0.000191749999999935×2.96578032802364e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.96578032802364e-05×40589641000000     		ar = 1455769.9722076m²