Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9255 / 11384
↖ ↑ ↗
← N 75.331158°
W129.160767°		 ← 154.67 m → N 75.331158°
W129.155274°		 →
↑
154.69 m
↓
↑
154.69 m
↓
N 75.329766°
W129.160767°		 ← 154.69 m →
23 927 m²		 N 75.329766°
W129.155274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141227722167969 y=0.173713684082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141227722167969 × 216)
    floor (0.141227722167969 × 65536)
    floor (9255.5)     		tx = 9255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173713684082031 × 216)
    floor (0.173713684082031 × 65536)
    floor (11384.5)     		ty = 11384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9255 / 11384 ti = "16/9255/11384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9255/11384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9255 ÷ 216
    9255 ÷ 65536     		x = 0.141220092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11384 ÷ 216
    11384 ÷ 65536     		y = 0.1737060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.141220092773438 × 2 - 1) × π
    -0.717559814453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.25428064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1737060546875 × 2 - 1) × π
    0.652587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.05016532295056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25428064} λ = -2.25428064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05016532295056))-π/2
    2×atan(7.76918542479807)-π/2
    2×1.44278652913876-π/2
    2.88557305827751-1.57079632675     		φ = 1.31477673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25428064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.160767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31477673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.331158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9255 KachelY 11384 -2.25428064 1.31477673 -129.160767 75.331158
    Oben rechts KachelX + 1 9256 KachelY 11384 -2.25418477 1.31477673 -129.155274 75.331158
    Unten links KachelX 9255 KachelY + 1 11385 -2.25428064 1.31475245 -129.160767 75.329766
    Unten rechts KachelX + 1 9256 KachelY + 1 11385 -2.25418477 1.31475245 -129.155274 75.329766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31477673-1.31475245) × R
    2.42799999998766e-05 × 6371000     		dl = 154.687879999214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31477673-1.31475245) × R
    2.42799999998766e-05 × 6371000     		dr = 154.687879999214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25428064--2.25418477) × cos(1.31477673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.253231903743926 × 6371000     		do = 154.670949780604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25428064--2.25418477) × cos(1.31475245) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.253255392277349 × 6371000     		du = 154.685296289554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31477673)-sin(1.31475245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.253231903743926-0.253255392277349)×R²
    abs(-2.25418477--2.25428064)×2.348853342371e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.348853342371e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.348853342371e-05×40589641000000     		ar = 23926.8309357817m²