Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9255 / 11333
↖ ↑ ↗
← S 56.619976°
E 23.356933°		 ← 1 344.27 m → S 56.619976°
E 23.378906°		 →
↑
1 344.03 m
↓
↑
1 344.03 m
↓
S 56.632063°
E 23.356933°		 ← 1 343.84 m →
1 806 440 m²		 S 56.632063°
E 23.378906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564910888671875 y=0.691741943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564910888671875 × 214)
    floor (0.564910888671875 × 16384)
    floor (9255.5)     		tx = 9255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691741943359375 × 214)
    floor (0.691741943359375 × 16384)
    floor (11333.5)     		ty = 11333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9255 / 11333 ti = "14/9255/11333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9255/11333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9255 ÷ 214
    9255 ÷ 16384     		x = 0.56488037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11333 ÷ 214
    11333 ÷ 16384     		y = 0.69171142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56488037109375 × 2 - 1) × π
    0.1297607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40765539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69171142578125 × 2 - 1) × π
    -0.3834228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.20455841365277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40765539} λ = 0.40765539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20455841365277))-π/2
    2×atan(0.299824368632652)-π/2
    2×0.291295656995237-π/2
    0.582591313990474-1.57079632675     		φ = -0.98820501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40765539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.356933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98820501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.619976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9255 KachelY 11333 0.40765539 -0.98820501 23.356933 -56.619976
    Oben rechts KachelX + 1 9256 KachelY 11333 0.40803889 -0.98820501 23.378906 -56.619976
    Unten links KachelX 9255 KachelY + 1 11334 0.40765539 -0.98841597 23.356933 -56.632063
    Unten rechts KachelX + 1 9256 KachelY + 1 11334 0.40803889 -0.98841597 23.378906 -56.632063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98820501--0.98841597) × R
    0.000210959999999982 × 6371000     		dl = 1344.02615999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98820501--0.98841597) × R
    0.000210959999999982 × 6371000     		dr = 1344.02615999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40765539-0.40803889) × cos(-0.98820501) × R
    0.000383499999999981 × 0.550189634110927 × 6371000     		do = 1344.26650394603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40765539-0.40803889) × cos(-0.98841597) × R
    0.000383499999999981 × 0.550013461885939 × 6371000     		du = 1343.83606613642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98820501)-sin(-0.98841597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550189634110927-0.550013461885939)×R²
    abs(0.40803889-0.40765539)×0.000176172224988003×R²
    0.000383499999999981×0.000176172224988003×6371000²
    0.000383499999999981×0.000176172224988003×40589641000000     		ar = 1806440.09417661m²