Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9255 / 11273
↖ ↑ ↗
← N 75.484772°
W129.160767°		 ← 153.09 m → N 75.484772°
W129.155274°		 →
↑
153.16 m
↓
↑
153.16 m
↓
N 75.483394°
W129.160767°		 ← 153.10 m →
23 448 m²		 N 75.483394°
W129.155274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141227722167969 y=0.172019958496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141227722167969 × 216)
    floor (0.141227722167969 × 65536)
    floor (9255.5)     		tx = 9255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172019958496094 × 216)
    floor (0.172019958496094 × 65536)
    floor (11273.5)     		ty = 11273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9255 / 11273 ti = "16/9255/11273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9255/11273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9255 ÷ 216
    9255 ÷ 65536     		x = 0.141220092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11273 ÷ 216
    11273 ÷ 65536     		y = 0.172012329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.141220092773438 × 2 - 1) × π
    -0.717559814453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.25428064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172012329101562 × 2 - 1) × π
    0.655975341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.06080731466621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25428064} λ = -2.25428064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06080731466621))-π/2
    2×atan(7.85230653433794)-π/2
    2×1.44412706111302-π/2
    2.88825412222603-1.57079632675     		φ = 1.31745780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25428064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.160767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31745780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.484772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9255 KachelY 11273 -2.25428064 1.31745780 -129.160767 75.484772
    Oben rechts KachelX + 1 9256 KachelY 11273 -2.25418477 1.31745780 -129.155274 75.484772
    Unten links KachelX 9255 KachelY + 1 11274 -2.25428064 1.31743376 -129.160767 75.483394
    Unten rechts KachelX + 1 9256 KachelY + 1 11274 -2.25418477 1.31743376 -129.155274 75.483394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31745780-1.31743376) × R
    2.40400000000029e-05 × 6371000     		dl = 153.158840000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31745780-1.31743376) × R
    2.40400000000029e-05 × 6371000     		dr = 153.158840000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25428064--2.25418477) × cos(1.31745780) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.250637314575936 × 6371000     		do = 153.086206448621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25428064--2.25418477) × cos(1.31743376) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.250660587172165 × 6371000     		du = 153.100421065774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31745780)-sin(1.31743376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250637314575936-0.250660587172165)×R²
    abs(-2.25418477--2.25428064)×2.32725962286406e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.32725962286406e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.32725962286406e-05×40589641000000     		ar = 23447.5943480677m²